19.3 Borne inférieure en grandes dimensions
257
Il reste à établir une propriété de monotonie pour la dichotomie ci-dessus.
Lemme 19.7 (Monotonie). Pour tout θ ∈ ]0, 1[, β → E(W ∞ (β)
θ ) décroît.
Démonstration. On remarque tout d’abord que
∂ β W n (β) = E
(H n (S 0:n ) − nλ
(β))e
βHn(S0:n)−nλ(β)
| G
.
On a donc, après dérivation sous l’espérance,
∂ β E(W n (β)
θ ) = θE
W n (β)
θ−1 (H n (S 0:n ) − nλ
(β))e
βHn(S0:n)−nλ(β)
.
L’inégalité FKG du lemme 19.4 appliquée à la mesure de probabilité de densité
e
βHn(γ)−nλ(β) par rapport à P et aux fonctions W n (β)
θ−1 et H n (γ) − nλ
(β) –
qui sont des fonctions respectivement décroissante et croissante des variables
(η(k, x)) (k,x)∈En – assure que
E
W n (β)
θ−1 (H n (γ) − nλ
(β))e
βHn(γ)−nλ(β)
est inférieur à
E
W n (β)
θ−1 e
βHn(γ)−nλ(β)
E
(H n (γ) − nλ
(β))e
βHn(γ)−nλ(β)
.
Pour conclure, on utilise alors que
E
(H n (γ) − nλ
(β))e
βHn(γ)−nλ(β)
= ∂ β E(W n (β)) = 0.
On peut à présent conclure. Par passage à la limite θ → 1, on obtient que
β → E(W ∞ (β))
est décroissante. Il existe donc ¯
β c ∈ [0, +∞] tel que, presque sûrement,
W ∞ (β) > 0 si β < ¯
β c ,
W ∞ (β) = 0 si β > ¯
β c .
Ceci achève la démonstration du théorème 19.1.
19.3 Borne inférieure en grandes dimensions
On se place ici en dimension d 3. Dans ce cas, la marche aléatoire simple
(S n ) n0 est transiente (voir le théorème 2.7). La probabilité qu’elle revienne
en 0 est strictement inférieure à 1. Notons π d cette probabilité.