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19 Polymères dirigés en environnement aléatoire
=
e
−(n+1)λ(β)
(2d) n+1
γ∈Γn+1
e
β
n
i=1
η(i,γi) e
λ(β)
=
1
(2d) n
γ∈Γn
e
βHn(γ)−nλ(β) = W n (β).
La suite (W n (β)) n1 est donc une martingale positive pour la filtration (G n ) n .
Elle converge donc p.s. vers une variable aléatoire positive W ∞ (β). De plus,
d’après le lemme de Fatou,
E(W ∞ (β)) = E
lim inf
n→∞
W n (β)
lim inf
n→∞
E(W n (β)) = 1,
ce qui est le résultat annoncé.
Rien n’assure pour l’instant que la martingale converge dans L
1 ni que
W ∞ (β) soit d’intégrale 1. Le résultat suivant établit que W ∞ (β) est soit nulle
soit strictement positive presque sûrement.
Lemme 19.6 (loi du zéro-un). Pour tout β 0 et tout θ ∈ (0, 1),
P(W ∞ (β) = 0) ∈ {0, 1} et
lim
n→∞
E(W n (β)
θ ) = E(W ∞ (β)
θ ).
Démonstration. La propriété de Markov de la marche assure que
W n+m (β) = E
e
βHn(S0:n)−nλ(β) Z
Sn
n,m e
−mλ(β)
| G
où, pour x ∈ Z
d et n et m entiers strictement positifs,
Z
x
n,m (β) = E
exp
β
m
i=1
η(n + i, x + S i )
| G
.
Ainsi,
W ∞ (β) = lim
m→∞
W n+m (β) = E
e
βHn(S0:n)−nλ(β) lim
m→∞
Z
Sn
n,m e
−mλ(β)
| G
.
Puisque e
βHn(S0:n)−nλ(β) est strictement positif presque sûrement, l’événement
{W ∞ (β) = 0} =
lim
m→∞
Z
x
n,m e
−mλ(β)
= 0 : ∀x, P(S n = x) > 0
appartient à la tribu σ
η(j, x), j n, x ∈ Z
d
. Ceci est vrai pour tout n.
Il appartient donc à la tribu asymptotique
n1 σ
η(j, x) : j n, x ∈ Z
d
.
D’après la loi du zéro-un de Kolmogorov, tous les éléments de la tribu asymptotique sont de probabilité 0 ou 1. Puisque W n (β) est d’espérance 1, la suite
(W n (β)
θ ) n0 est bornée dans L
1/θ . De plus, elle converge vers W ∞ (β)
θ p.s.
On a donc
lim
n→∞
E(W n (β)
θ ) = E(W ∞ (β)
θ ).
Cette limite est nulle si et seulement si W ∞ (β) est nul presque sûrement.