19.2 Fonction de partition normalisée
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Lemme 19.4 (Inégalité FKG). Soient X = (X i ) 1ik des v.a.r. indépendantes et f, g : R
k
→ R deux fonctions telles que f (X) et g(X) sont de carré
intégrable, croissantes au sens où f (x) 훀 f (y) si x i y i pour tout 1 i k.
Alors f (X) et g(X) sont positivement corrélées :
E[f (X)g(X)] E[f (X)] E[g(X)].
Démonstration. Pour k = 1, si X
est une copie indépendante de X, on a
E(f (X)g(X)) − Ef (X)Eg(X) =
1
2
E[(f (X) − f (X
))(g(X) − g(X
))] 0.
Pour k > 1, on procède par récurrence en utilisant un conditionnement :
E(f (X)g(X)) − Ef (X)Eg(X)
= E(E(f (X)g(X)|X 1 ) − E(f (X)|X 1 )E(g(X)|X 1 ))
+ E(E(f (X)|X 1 )E(g(X)|X 1 )) − Ef (X)Eg(X)
= ECov(f (X), g(X)|X 1 ) + Cov(E(f (X)|X 1 ), E(g(X)|X 1 )).
Le premier terme est positif par hypothèse de récurrence car à x 1 fixé les fonctions f et g sont croissantes comme fonctions des k − 1 variables (x 2 , . . . , x k ).
Le second l’est aussi car les fonctions E(f (X)|X 1 = ·) et E(g(X)|X 1 = ·) sont
croissantes et la propriété est vraie au rang 1.
19.2 Fonction de partition normalisée
Cette section est consacrée à la preuve du théorème 19.1.
Lemme 19.5 (Convergence). La suite (W n (β)) n1 converge p.s. vers une
variable aléatoire W ∞ (β) qui est positive et d’intégrale inférieure à 1.
Démonstration. L’inégalité de Jensen assure que, pour p 1,
E(W n (β)
p ) = E
E
e
βHn(S0:n)−nλ(β)
| G
p
E
e
pβHn(S0:n)
e
−pnλ(β) .
Pour tout γ ∈ Γ n , on a
E
e
pβHn(γ)
=
E
e
pβη
n = e
nλ(pβ) .
La variable aléatoire W
p
n est donc intégrable et E(W n (β)
p ) e
n(λ(pβ)−pλ(β)) .
Pour p = 1, la majoration est une égalité : E(W n (β)) = 1. Pour tout n 1,
E(W n+1 (β) | G n ) =
e
−(n+1)λ(β)
(2d) n+1
γ∈Γn+1
E
e
β
n+1
i=1
η(i,γi) | G n