254
19 Polymères dirigés en environnement aléatoire
Théorème 19.2 (Phénomène de seuil). Il existe une fonction u λ telle que
u n (β) −→
n→∞
u(β).
De plus, il existe une constante β c ∈ [0, +∞] telle que
u(β) = λ(β) si β < β c , (le polymère est en «très faible désordre»),
u(β) < λ(β) si β > β c , (le polymère est en «très fort désordre»).
Ce théorème est démontré dans la section 19.4. Les deux notions de
désordre sont comparables.
Lemme 19.3 (Le très fort désordre implique le fort désordre). On a toujours
0 ¯
β c β c +∞.
Démonstration. Si β < ¯
β c alors P({W ∞ (β) > 0}) = 1 et par suite
(u − λ)(β) = lim
n→∞
1
n
log W n (β) = 0.
En d’autres termes, β β c .
Notons que la terminologie est délicate car le modèle peut être à la fois en
très faible désordre et en fort désordre. Le tableau suivant résume les choses.
β
(0, ¯
β c ) ( ¯
β c , β c ) (β c , +∞)
Fort Désordre
non
oui
oui
Très Fort Désordre non
non
oui
Les deux questions essentielles sont les suivantes :
— ces phénomènes de seuil – on parle parfois en physique de transition
de phase – ont-ils vraiment lieu, en d’autres termes, les paramètres
critiques sont-ils finis et non nuls ?
— les deux paramètres critiques sont-ils différents ?
Les réponses à ces questions peuvent dépendre de la loi de l’environnement et
de la dimension d du polymère. Nous obtenons dans la section 19.3 une borne
supérieure pour β c qui est finie ou non selon la loi de l’environnement et la
dimension d. Dans la section 19.5, nous montrons que si d 3 alors quel que
soit l’environnement, ¯
β c > 0. On pourra se reporter à la section 19.6 pour le
cas des petites dimensions qui s’avère beaucoup plus délicat.
Certaines démonstrations ci-dessous reposent sur la remarque simple suivante : si f et g sont croissantes, alors f (X) et g(X) sont positivement corrélées. Cette propriété, appelée inégalité FKG
1 est vraie pour des fonctions de
plusieurs variables aléatoires indépendantes, comme l’affirme le lemme 19.4.
1. Pour Fortuin, Kasteleyn et Ginibre.
19 Polymères dirigés en environnement aléatoire
Théorème 19.2 (Phénomène de seuil). Il existe une fonction u λ telle que
u n (β) −→
n→∞
u(β).
De plus, il existe une constante β c ∈ [0, +∞] telle que
u(β) = λ(β) si β < β c , (le polymère est en «très faible désordre»),
u(β) < λ(β) si β > β c , (le polymère est en «très fort désordre»).
Ce théorème est démontré dans la section 19.4. Les deux notions de
désordre sont comparables.
Lemme 19.3 (Le très fort désordre implique le fort désordre). On a toujours
0 ¯
β c β c +∞.
Démonstration. Si β < ¯
β c alors P({W ∞ (β) > 0}) = 1 et par suite
(u − λ)(β) = lim
n→∞
1
n
log W n (β) = 0.
En d’autres termes, β β c .
Notons que la terminologie est délicate car le modèle peut être à la fois en
très faible désordre et en fort désordre. Le tableau suivant résume les choses.
β
(0, ¯
β c ) ( ¯
β c , β c ) (β c , +∞)
Fort Désordre
non
oui
oui
Très Fort Désordre non
non
oui
Les deux questions essentielles sont les suivantes :
— ces phénomènes de seuil – on parle parfois en physique de transition
de phase – ont-ils vraiment lieu, en d’autres termes, les paramètres
critiques sont-ils finis et non nuls ?
— les deux paramètres critiques sont-ils différents ?
Les réponses à ces questions peuvent dépendre de la loi de l’environnement et
de la dimension d du polymère. Nous obtenons dans la section 19.3 une borne
supérieure pour β c qui est finie ou non selon la loi de l’environnement et la
dimension d. Dans la section 19.5, nous montrons que si d 3 alors quel que
soit l’environnement, ¯
β c > 0. On pourra se reporter à la section 19.6 pour le
cas des petites dimensions qui s’avère beaucoup plus délicat.
Certaines démonstrations ci-dessous reposent sur la remarque simple suivante : si f et g sont croissantes, alors f (X) et g(X) sont positivement corrélées. Cette propriété, appelée inégalité FKG
1 est vraie pour des fonctions de
plusieurs variables aléatoires indépendantes, comme l’affirme le lemme 19.4.
1. Pour Fortuin, Kasteleyn et Ginibre.