19.1 Modèle et résultats principaux
253
n
Z
d
γ
γ
Fig. 19.1. Environnement Bernoulli : les points noirs représentent les sites où l’environnement vaut +1). Pour les chemins γ et γ
, H8(γ) = 7 et H8(γ
) = 1. Le premier
est favorisé par rapport au second dès que β > 0.
L’énergie libre du système et son espérance sont définies par
q n (β) =
1
n
log Z n (β) et u n (β) = E(q n (β)).
Les quantités Z n (β), q n (β), W n (β) et μ n sont aléatoires, et nous allons
étudier leur comportement asymptotique quand n tend vers l’infini. Il y a
plusieurs façons de mesurer l’influence de l’environnement sur la structure du
polymère. Nous en présentons deux basées sur les comportements asymptotiques de q n (β) et W n (β). Les résultats sont présentés dans cette section, leurs
démonstrations sont données dans les suivantes.
Nous commençons par le premier résultat significatif sur une dichotomie
possible dans le comportement du polymère. Il est basé sur le comportement
asymptotique de la fonction de partition normalisée W n (β).
Théorème 19.1 (Phénomène de seuil). Il existe une v.a. W ∞ (β) telle que
W n (β)
p.s.
−→
n→∞
W ∞ (β).
De plus, il existe une constante ¯
β c ∈ [0, +∞] telle que, p.s.
W ∞ (β) > 0 si β < ¯
β c , et on dit que le polymère est en «faible désordre»,
W ∞ (β) = 0 si β > ¯
β c , et on dit que le polymère est en «fort désordre».
Ce résultat sera démontré dans la section 19.2. Il donne la première notion
de désordre. Présentons à présent l’autre notion de désordre. Elle s’appuie sur
le résultat suivant.
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n
Z
d
γ
γ
Fig. 19.1. Environnement Bernoulli : les points noirs représentent les sites où l’environnement vaut +1). Pour les chemins γ et γ
, H8(γ) = 7 et H8(γ
) = 1. Le premier
est favorisé par rapport au second dès que β > 0.
L’énergie libre du système et son espérance sont définies par
q n (β) =
1
n
log Z n (β) et u n (β) = E(q n (β)).
Les quantités Z n (β), q n (β), W n (β) et μ n sont aléatoires, et nous allons
étudier leur comportement asymptotique quand n tend vers l’infini. Il y a
plusieurs façons de mesurer l’influence de l’environnement sur la structure du
polymère. Nous en présentons deux basées sur les comportements asymptotiques de q n (β) et W n (β). Les résultats sont présentés dans cette section, leurs
démonstrations sont données dans les suivantes.
Nous commençons par le premier résultat significatif sur une dichotomie
possible dans le comportement du polymère. Il est basé sur le comportement
asymptotique de la fonction de partition normalisée W n (β).
Théorème 19.1 (Phénomène de seuil). Il existe une v.a. W ∞ (β) telle que
W n (β)
p.s.
−→
n→∞
W ∞ (β).
De plus, il existe une constante ¯
β c ∈ [0, +∞] telle que, p.s.
W ∞ (β) > 0 si β < ¯
β c , et on dit que le polymère est en «faible désordre»,
W ∞ (β) = 0 si β > ¯
β c , et on dit que le polymère est en «fort désordre».
Ce résultat sera démontré dans la section 19.2. Il donne la première notion
de désordre. Présentons à présent l’autre notion de désordre. Elle s’appuie sur
le résultat suivant.