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19 Polymères dirigés en environnement aléatoire
S n =
n
i=1
U i , n 1,
où (U n ) n1 est une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur {±e i : 1 i d}, où
e 1 , . . . , e d est la base canonique de Z
d . On note (F n ) n0 la filtration naturelle
de (S n ) n0 , et F la tribu engendrée par les variables aléatoires (U n ) n1 .
Il est commode de représenter les n + 1 premiers termes de (S n ) n0 par
la variable aléatoire S 0:n = (S 0 , S 1 , . . . , S n ), qui prend ses valeurs dans Γ n ,
l’ensemble des chemins issus de 0 et de longueur n dans Z
d , c’est-à-dire l’ensemble des (n + 1)-uplets γ = (γ 0 , γ 1 , . . . , γ n ) avec γ 0 , . . . , γ n dans Z
d , tels que
γ 0 = 0 et γ i+1 − γ i ∈ {±e j : 1 j d} pour tout 0 i n − 1.
On modélise l’environnement par des variables aléatoires réelles
(η(n, x)) n1, x∈Z d
i.i.d. non constantes. On suppose que (U n ) n1 et (η(n, x)) n0, x∈Z d sont indépendantes. On note G la tribu engendrée par (η(i, x)) i1, x∈Z d et G n la tribu
engendrée par (η(i, x)) (i,x)∈En où E n = {(i, γ i ) : 1 i n, γ ∈ Γ n } est l’environnement vu par les chemins de longueur n.
Pour tout β 0, on définit la mesure de probabilité μ n sur Γ n en posant,
pour tout γ ∈ Γ n ,
μ n (γ) =
1
Z n (β)
e
βHn(γ)
P(S 0:n = γ),
avec
H n (γ) =
n
i=1
η(i, γ i ) et Z n (β) = E
e
βHn(S0:n)
| G
.
La mesure de probabilité μ n est une mesure de Gibbs (voir chapitre 5). La
quantité H n (S 0:n ) représente l’affinité de la configuration du polymère dans
son environnement. Plus elle est élevée, plus la configuration du polymère est
probable. Le paramètre β quantifie l’influence de l’environnement sur la structure du polymère. Il s’interprète comme l’inverse de la température. Si β = 0
(la température est infinie) alors tous les chemins de longueur n ont le même
poids : le polymère n’est pas sensible à l’environnement et se comporte comme
la marche aléatoire simple. Si β = +∞ (température nulle), le polymère ne
charge que les chemins de longueur n qui maximisent H n .
La quantité Z n (β) est une constante de normalisation appelée fonction
de partition du système. On pose η = η(0, 0) et on suppose que la fonction
suivante est bien définie :
λ : t ∈ R → λ(t) = log E
e
tη
∈ R + .
La fonction de partition normalisée est
W n (β) = E
e
βHn(S0:n)−nλ(β)
| G
.
19 Polymères dirigés en environnement aléatoire
S n =
n
i=1
U i , n 1,
où (U n ) n1 est une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur {±e i : 1 i d}, où
e 1 , . . . , e d est la base canonique de Z
d . On note (F n ) n0 la filtration naturelle
de (S n ) n0 , et F la tribu engendrée par les variables aléatoires (U n ) n1 .
Il est commode de représenter les n + 1 premiers termes de (S n ) n0 par
la variable aléatoire S 0:n = (S 0 , S 1 , . . . , S n ), qui prend ses valeurs dans Γ n ,
l’ensemble des chemins issus de 0 et de longueur n dans Z
d , c’est-à-dire l’ensemble des (n + 1)-uplets γ = (γ 0 , γ 1 , . . . , γ n ) avec γ 0 , . . . , γ n dans Z
d , tels que
γ 0 = 0 et γ i+1 − γ i ∈ {±e j : 1 j d} pour tout 0 i n − 1.
On modélise l’environnement par des variables aléatoires réelles
(η(n, x)) n1, x∈Z d
i.i.d. non constantes. On suppose que (U n ) n1 et (η(n, x)) n0, x∈Z d sont indépendantes. On note G la tribu engendrée par (η(i, x)) i1, x∈Z d et G n la tribu
engendrée par (η(i, x)) (i,x)∈En où E n = {(i, γ i ) : 1 i n, γ ∈ Γ n } est l’environnement vu par les chemins de longueur n.
Pour tout β 0, on définit la mesure de probabilité μ n sur Γ n en posant,
pour tout γ ∈ Γ n ,
μ n (γ) =
1
Z n (β)
e
βHn(γ)
P(S 0:n = γ),
avec
H n (γ) =
n
i=1
η(i, γ i ) et Z n (β) = E
e
βHn(S0:n)
| G
.
La mesure de probabilité μ n est une mesure de Gibbs (voir chapitre 5). La
quantité H n (S 0:n ) représente l’affinité de la configuration du polymère dans
son environnement. Plus elle est élevée, plus la configuration du polymère est
probable. Le paramètre β quantifie l’influence de l’environnement sur la structure du polymère. Il s’interprète comme l’inverse de la température. Si β = 0
(la température est infinie) alors tous les chemins de longueur n ont le même
poids : le polymère n’est pas sensible à l’environnement et se comporte comme
la marche aléatoire simple. Si β = +∞ (température nulle), le polymère ne
charge que les chemins de longueur n qui maximisent H n .
La quantité Z n (β) est une constante de normalisation appelée fonction
de partition du système. On pose η = η(0, 0) et on suppose que la fonction
suivante est bien définie :
λ : t ∈ R → λ(t) = log E
e
tη
∈ R + .
La fonction de partition normalisée est
W n (β) = E
e
βHn(S0:n)−nλ(β)
| G
.