19
Polymères dirigés en environnement aléatoire
Mots-clés. Phénomène de seuil ; transition de phase ; inégalité FKG ; espérance dépendant d’un paramètre ; polymère dirigé ; environnement aléatoire ; mesure de Boltzmann-Gibbs.
Outils. Chaîne de Markov ; transformée de Laplace ; martingale ; loi du
zéro-un.
Difficulté. ***
Un polymère est une longue molécule constituée de briques élémentaires
identiques appelées monomères. On s’intéresse à la modélisation de la structure d’un polymère constitué de monomères hydrophiles, placé dans une émulsion d’huile et d’eau. L’huile est présente sous la forme de gouttelettes microscopiques. On suppose que les monomères sont régulièrement espacés et que
le polymère se déroule dans une direction privilégiée. On dit que le polymère
est dirigé. Par analogie avec les processus, cette dimension est dite temporelle,
et le polymère est vu comme un chemin dans Z
d , c’est-à-dire une application
de {0, 1, . . . , n} dans Z
d où n est la longueur du polymère. On positionne sur
les points de N × Z
d des variables aléatoires i.i.d. qui quantifient la sensibilité
de chaque monomère du polymère à la présence d’huile ou d’eau sur chaque
site. Dans tout le chapitre, l’entier d est fixé supérieur ou égal à 1.
La sensibilité du polymère à son environnement est modélisée par un paramètre réel noté β introduit par la suite. Toute la question est de déterminer
pour quelles valeurs de ce paramètre le comportement du polymère est sensiblement différent d’une marche aléatoire simple qui modélise la structure d’un
polymère indifférent à son environnement.
19.1 Modèle et résultats principaux
On modélise un polymère insensible à son environnement par une marche
aléatoire simple sur Z
d , c’est-à-dire une suite (S n ) n0 avec S 0 = 0 et
251
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_19
Polymères dirigés en environnement aléatoire
Mots-clés. Phénomène de seuil ; transition de phase ; inégalité FKG ; espérance dépendant d’un paramètre ; polymère dirigé ; environnement aléatoire ; mesure de Boltzmann-Gibbs.
Outils. Chaîne de Markov ; transformée de Laplace ; martingale ; loi du
zéro-un.
Difficulté. ***
Un polymère est une longue molécule constituée de briques élémentaires
identiques appelées monomères. On s’intéresse à la modélisation de la structure d’un polymère constitué de monomères hydrophiles, placé dans une émulsion d’huile et d’eau. L’huile est présente sous la forme de gouttelettes microscopiques. On suppose que les monomères sont régulièrement espacés et que
le polymère se déroule dans une direction privilégiée. On dit que le polymère
est dirigé. Par analogie avec les processus, cette dimension est dite temporelle,
et le polymère est vu comme un chemin dans Z
d , c’est-à-dire une application
de {0, 1, . . . , n} dans Z
d où n est la longueur du polymère. On positionne sur
les points de N × Z
d des variables aléatoires i.i.d. qui quantifient la sensibilité
de chaque monomère du polymère à la présence d’huile ou d’eau sur chaque
site. Dans tout le chapitre, l’entier d est fixé supérieur ou égal à 1.
La sensibilité du polymère à son environnement est modélisée par un paramètre réel noté β introduit par la suite. Toute la question est de déterminer
pour quelles valeurs de ce paramètre le comportement du polymère est sensiblement différent d’une marche aléatoire simple qui modélise la structure d’un
polymère indifférent à son environnement.
19.1 Modèle et résultats principaux
On modélise un polymère insensible à son environnement par une marche
aléatoire simple sur Z
d , c’est-à-dire une suite (S n ) n0 avec S 0 = 0 et
251
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_19