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18 Ruine d’une compagnie d’assurance
ψ(c i ) =
λμ
p
exp
−
p − λμ
pλ
c i
.
Supposons à présent qu’elles s’unissent pour ne former qu’une seule compagnie. On supposera à nouveau que les sinistres assurés par chacune des
compagnies sont indépendants. Les paramètres de la nouvelle entité sont
(λ, (1 + ρ)μ, (1 + ρ)p) et le capital initial vaut c 1 + c 2 . Une fois de plus, la
probabilité de ruine est donc donnée par ψ(c 1 + c 2 ) qui est inférieure aux
probabilités de ruine de chacune des deux compagnies. Les assureurs ont donc
intérêt à se regrouper pour mutualiser les risques.
18.5 Pour aller plus loin
La définition et les propriétés essentielles des processus de Poisson se trouve
par exemple dans le livre de Dominique Foata et Aimé Fuchs [FF04], dans
celui de James Norris [Nor98a], et dans celui de Christiane Cocozza-Thivent
[CT97]. Les probabilités sont un des outils essentiels de l’actuariat, nom donné
à la science de l’assurance. Le modèle présenté ici appelé modèle de CramérLundberg a été introduit par Filip Lundberg vers 1903 puis popularisé par
Harald Cramér dans les années 1930. On pourra notamment consulter les
ouvrages de Søren Asmussen [Asm00], Thomas Mikosch [Mik09] ou encore de
Arthur Charpentier et Michel Denuit [CD04]. Du point de vue de la théorie des
processus stochastiques, le processus de Cramér-Lundberg est un processus
de Markov déterministe par morceaux (un autre exemple est traité dans le
chapitre 17). Un modèle plus sophistiqué prend en compte le fait que les
assureurs placent l’argent des cotisations au fur et à mesure. Le générateur
infinitésimal du processus décrivant la fortune de la compagnie s’écrit alors
Lf (x) = (γx + p)f
(x) + μ
∞
0
(f (x − y) − f (x)) ν(dy).
Les lois de franchissement d’un niveau sont alors plus difficiles à décrire.
18 Ruine d’une compagnie d’assurance
ψ(c i ) =
λμ
p
exp
−
p − λμ
pλ
c i
.
Supposons à présent qu’elles s’unissent pour ne former qu’une seule compagnie. On supposera à nouveau que les sinistres assurés par chacune des
compagnies sont indépendants. Les paramètres de la nouvelle entité sont
(λ, (1 + ρ)μ, (1 + ρ)p) et le capital initial vaut c 1 + c 2 . Une fois de plus, la
probabilité de ruine est donc donnée par ψ(c 1 + c 2 ) qui est inférieure aux
probabilités de ruine de chacune des deux compagnies. Les assureurs ont donc
intérêt à se regrouper pour mutualiser les risques.
18.5 Pour aller plus loin
La définition et les propriétés essentielles des processus de Poisson se trouve
par exemple dans le livre de Dominique Foata et Aimé Fuchs [FF04], dans
celui de James Norris [Nor98a], et dans celui de Christiane Cocozza-Thivent
[CT97]. Les probabilités sont un des outils essentiels de l’actuariat, nom donné
à la science de l’assurance. Le modèle présenté ici appelé modèle de CramérLundberg a été introduit par Filip Lundberg vers 1903 puis popularisé par
Harald Cramér dans les années 1930. On pourra notamment consulter les
ouvrages de Søren Asmussen [Asm00], Thomas Mikosch [Mik09] ou encore de
Arthur Charpentier et Michel Denuit [CD04]. Du point de vue de la théorie des
processus stochastiques, le processus de Cramér-Lundberg est un processus
de Markov déterministe par morceaux (un autre exemple est traité dans le
chapitre 17). Un modèle plus sophistiqué prend en compte le fait que les
assureurs placent l’argent des cotisations au fur et à mesure. Le générateur
infinitésimal du processus décrivant la fortune de la compagnie s’écrit alors
Lf (x) = (γx + p)f
(x) + μ
∞
0
(f (x − y) − f (x)) ν(dy).
Les lois de franchissement d’un niveau sont alors plus difficiles à décrire.