18.4 Sinistres exponentiels
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Démonstration. Pour x < 1/λ, on a
H(x) =
1
1 − λx
et u =
p − μλ
pλ
<
1
λ
.
Il suffit de montrer que, sachant que ˜
τ (c) < +∞, la variable Y (c) = S ˜
τ (c) − c
suit la loi exponentielle d’espérance λ. Si ˜
τ (c) = n alors
Y (c) = S n − c = X n − pΔ n + S n−1 − c,
d’où
P(Y (c) > y, ˜
τ (c) = n)
= P
Y (c) > y, max
1in−1
S i c, S n > c
= P
X n > y + pΔ n + c − S n−1 , max
1in−1
S i c
= P
X n > y, X n > y + pΔ n + c − S n−1 , max
1in−1
S i c
.
La dernière égalité provient du fait que X n = Y (c) + c − S n−1 > y lorsque
Y (c) > y et max 1in−1 S i c. À présent, puisque la variable aléatoire X n
suit la loi Exp(1/λ) et est indépendante de (Δ n , S 1 , . . . , S n−1 ), on a
P(Y (c) > y, ˜
τ (c) = n)
=
∞
y
P
x > y + pΔ n + c − S n−1 , max
1in−1
S i c
λe
−λx dx
= e
−λy
∞
0
P
x > pΔ n + c − S n−1 , max
1in−1
S i c
λe
−λx dx
= e
−y/λ
P
S n > c, max
1in−1
S i c
= e
−y/λ
P(˜ τ (c) = n)
.
Ainsi, P(Y (c) > y | ˜
τ (c) < +∞) = e
−y/λ pour tout y > 0. Ceci assure que
E
e
uY (c)
| ˜
τ (c) < +∞
= H(u).
On conclut en appliquant le théorème 18.7.
Considérons deux compagnies qui assurent le même type de risques et
pratiquent les mêmes politiques de tarif et d’indemnisation. Supposons que
la clientèle de la seconde diffère d’un facteur multiplicatif ρ de la première.
Si (λ, μ, p) désigne les paramètres de la première compagnie, ceux de la seconde sont donnés par (λ, ρμ, ρp). On suppose que les sinistres sont toujours
exponentiellement distribués. Par homogénéité, la probabilité de ruine de la
compagnie i = 1, 2 est donnée par le théorème 18.9 :