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18 Ruine d’une compagnie d’assurance
Ainsi E[e
uSn ] = 1 pour tout n 0. Si n > 0 alors ˜
τ (c) ∧ n est un temps
d’arrêt borné et
1 = E
e
uS ˜
τ (c)∧n
= E
e
uS ˜
τ (c)
1 {˜ τ (c)n}
+ E
e
uSn
1 {˜ τ (c)>n}
.
Sous l’hypothèse p > λμ, S n
p.s.
−→
n→∞
−∞. De plus, sur {˜ τ (c) > n}, on a S n c.
Ainsi, par convergence dominée, la seconde espérance ci-dessus converge vers 0
lorsque n → +∞. La première espérance converge par convergence monotone.
Par conséquent, on obtient
1 = E
e
uS ˜
τ (c)
1 {˜ τ (c)<+∞}
= e
uc
E
e
uY (c)
|˜ τ (c) < +∞
P(˜ τ (c) < +∞),
ce qui fournit le résultat annoncé.
Remarque 18.8 (Borne de Lundberg). Du théorème précédent, ψ(c) e
−uc .
La transformée de Laplace de la mesure de densité
x →
e
−x
1 + x 2 1 [0,∞[ (x)
est finie au point x si et seulement si x 1. Si H(1) < 1 + p/μ, la fonction
x → H(x) − px/μ − 1 ne s’annule qu’en 0 : cette fonction, infinie sur ]1, +∞[,
est strictement négative sur ]0, 1]. Dans ce cas, le théorème 18.7 ne s’applique
pas. Cependant, la suite (e
Sn ) n0 est une sur-martingale :
E
e
Sn+1
| σ(S 0 , . . . , S n )
= e
Sn H(1)
1 + p/μ
< e
Sn .
On en déduit, en procédant comme dans la preuve du théorème 18.7 que
ψ(c)
e
−c
E
e Y (c) | ˜
τ (c) < +∞
.
18.4 Sinistres exponentiels
La probabilité de ruine est explicite pour des coûts de sinistres exponentiellement distribués.
Théorème 18.9 (Probabilité de ruine). Si la distribution des coûts des
sinistres est la loi exponentielle de paramètre 1/λ, ou de moyenne λ avec
p > λμ, alors, pour tout c 0, on a
ψ(c) =
λμ
p
exp
−
p − λμ
pλ
c
.