18.3 Expression de la probabilité de ruine
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18.3 Expression de la probabilité de ruine
On suppose dans la suite que la condition, dite de profit net, p > λμ est
satisfaite et on cherche à exprimer la probabilité de ruine ψ(c). On introduit
la transformée de Laplace H de la loi des sinistres ν :
∀x ∈ R, H(x) = E
e
xX1
∈ [0, +∞].
La fonction H est finie sur un intervalle I qui contient ] − ∞, 0] car X 1 est une
variable aléatoire positive. De plus, H est de classe C
∞ et strictement convexe
sur l’intérieur de I.
Lemme 18.6 (Transformé de Laplace des sinistres). Supposons que l’intervalle I sur lequel la transformée de Laplace H est finie soit un ouvert qui
contient 0. Alors la fonction
x → H(x) −
px
μ
− 1
s’annule en 0 et en un unique réel u > 0.
Le réel u est appelé coefficient d’ajustement.
Démonstration. La fonction x 𚵿 → H(x) − px/μ − 1 est strictement convexe sur
I, nulle en 0 avec une dérivée strictement négative car H
(0) = E(X 1 ) = λ <
p/μ. D’autre part, puisque I est ouvert, la fonction H tend vers +∞ au bord
droit de I, et, pour tout x 0 > 0 tel que P(X 1 x 0 ) > 0, et tout x ∈ I,
H(x) e
xx0
P(X 1 x 0 ).
Ainsi, la fonction x → H(x) − px/μ − 1 tend vers +∞ au bord droit de I.
Théorème 18.7 (Probabilité de ruine). Sous les hypothèses du lemme 18.6,
la probabilité de ruine est donnée par
ψ(c) =
e
−uc
E
e uY (c) |τ (c) < +∞
où Y (c) = S ˜
τ (c) − c est le découvert de la compagnie à l’instant de ruine.
Démonstration. La suite (e
uSn ) n0 est une martingale positive car
E
e
uSn+1
| σ(S 0 , . . . , S n )
= e
uSn
E
e
u(Xn+1−pΔn+1)
.
Comme X n+1 et Δ n+1 sont indépendantes et comme Δ n+1 suit la loi Exp(μ),
E
e
u(Xn+1−pΔn+1)
= H(u)
μ
μ + pu
= 1.