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18 Ruine d’une compagnie d’assurance
18.2 La ruine est-elle presque sûre ?
Comme les trajectoires de ˜
R sont décroissantes entre les sauts, le franchissement du niveau c ne peut intervenir qu’à un instant de saut. Définissons
la suite (S n ) n0 par S n = ˜
R Tn . On dit que (S n ) n∈N est la chaîne incluse de
( ˜
R t ) t∈R+ . Par construction, puisque Δ k = T k − T k−1 pour k 1,
S 0 = 0 et ∀n 1, S n =
n
k=1
(X k − pΔ k ).
En particulier, S n s’écrit comme la somme de n variables aléatoires i.i.d. de
moyenne λ − p/μ. La quantité λμ représente le montant moyen des sinistres
par unité de temps et sa position par rapport à p dicte, comme le montre le
résultat suivant, la valeur de la probabilité de ruine qui s’écrit encore
ψ(c) = P
sup
n0
S n > c
.
Notons ˜
τ (c) = inf {n ∈ N : S n > c}. Par construction, on a
˜
τ (c) = n ⇔ τ (c) = T n et ˜
τ (c) < +∞ ⇔ τ (c) < +∞.
Théorème 18.4 (Caractérisation de la ruine presque sûre).
p λμ ⇐⇒ ∀c 0, ψ(c) = 1.
Démonstration. Si p < λμ, le résultat découle de la loi des grands nombres
appliquée à la suite (X k − pΔ k ) k1 . Si p = λμ, la loi du logarithme itéré de
Strassen appliquée aux variables aléatoires i.i.d. (X k − pΔ k ) 1kn centrées et
de variance σ
2 = a − λ
2 + p
2 /μ
2 donne
lim inf
n→∞
S n
σ
2n log(log(n))
= −1 p.s.
et
lim sup
n→∞
S n
σ
2n log(log(n))
= +1 p.s.
Enfin, si p > λμ, la loi des grands nombres assure ici que S n → −∞ p.s. Supposons que le temps d’arrêt τ 1 = inf{n > 0 : S n > c} soit fini p.s. La marche
aléatoire (S n+τ1 − S τ1 ) n0 est de même loi que (S n ) n0 . Par conséquent, le
temps d’arrêt τ 2 = inf{n > 0 : S n+τ1 − S τ1 > c} est lui aussi fini p.s. En
itérant le procédé, on montre que lim sup S n = ∞, d’où la contradiction.
Remarque 18.5 (Condition de profit net). Comme le suggère l’intuition,
la compagnie doit s’assurer que p > λμ pour éviter une ruine p.s. Les
lemmes 18.2 et 18.3 permettent, à partir d’un historique des sinistres, d’estimer les paramètres λ et μ, ce qui peut ensuite aider à choisir p.
18 Ruine d’une compagnie d’assurance
18.2 La ruine est-elle presque sûre ?
Comme les trajectoires de ˜
R sont décroissantes entre les sauts, le franchissement du niveau c ne peut intervenir qu’à un instant de saut. Définissons
la suite (S n ) n0 par S n = ˜
R Tn . On dit que (S n ) n∈N est la chaîne incluse de
( ˜
R t ) t∈R+ . Par construction, puisque Δ k = T k − T k−1 pour k 1,
S 0 = 0 et ∀n 1, S n =
n
k=1
(X k − pΔ k ).
En particulier, S n s’écrit comme la somme de n variables aléatoires i.i.d. de
moyenne λ − p/μ. La quantité λμ représente le montant moyen des sinistres
par unité de temps et sa position par rapport à p dicte, comme le montre le
résultat suivant, la valeur de la probabilité de ruine qui s’écrit encore
ψ(c) = P
sup
n0
S n > c
.
Notons ˜
τ (c) = inf {n ∈ N : S n > c}. Par construction, on a
˜
τ (c) = n ⇔ τ (c) = T n et ˜
τ (c) < +∞ ⇔ τ (c) < +∞.
Théorème 18.4 (Caractérisation de la ruine presque sûre).
p λμ ⇐⇒ ∀c 0, ψ(c) = 1.
Démonstration. Si p < λμ, le résultat découle de la loi des grands nombres
appliquée à la suite (X k − pΔ k ) k1 . Si p = λμ, la loi du logarithme itéré de
Strassen appliquée aux variables aléatoires i.i.d. (X k − pΔ k ) 1kn centrées et
de variance σ
2 = a − λ
2 + p
2 /μ
2 donne
lim inf
n→∞
S n
σ
2n log(log(n))
= −1 p.s.
et
lim sup
n→∞
S n
σ
2n log(log(n))
= +1 p.s.
Enfin, si p > λμ, la loi des grands nombres assure ici que S n → −∞ p.s. Supposons que le temps d’arrêt τ 1 = inf{n > 0 : S n > c} soit fini p.s. La marche
aléatoire (S n+τ1 − S τ1 ) n0 est de même loi que (S n ) n0 . Par conséquent, le
temps d’arrêt τ 2 = inf{n > 0 : S n+τ1 − S τ1 > c} est lui aussi fini p.s. En
itérant le procédé, on montre que lim sup S n = ∞, d’où la contradiction.
Remarque 18.5 (Condition de profit net). Comme le suggère l’intuition,
la compagnie doit s’assurer que p > λμ pour éviter une ruine p.s. Les
lemmes 18.2 et 18.3 permettent, à partir d’un historique des sinistres, d’estimer les paramètres λ et μ, ce qui peut ensuite aider à choisir p.