18
Ruine d’une compagnie d’assurance
Mots-clés. Actuariat ; temps de ruine ; temps d’atteinte ; processus de
Markov à temps continu.
Outils. Processus de Poisson composé ; transformée de Laplace ; fonction
caractéristique ; martingale ; marche aléatoire ; loi des grands nombres ; loi du
logarithme itéré.
Difficulté. *
Ce chapitre est consacré essentiellement à un modèle simple et classique
de risque en assurance, connu sous le nom de modèle de Cramér-Lundberg.
Une nouvelle compagnie d’assurance veut entrer sur le marché. Elle souhaite
évaluer sa probabilité de faillite en fonction du capital initial investi et du prix
de ses polices d’assurance. On suppose que la compagnie a un capital initial
c et on note R t sa réserve à l’instant t. La compagnie d’assurance
— perçoit des cotisations de ses clients que l’on supposera mensualisées,
uniformément réparties sur l’année et constantes au cours du temps :
les recettes de la compagnie pendant un temps t sont donc égales à pt
où p est le taux de cotisations par unité de temps ;
— verse des primes à ses assurés sinistrés en fonction des dommages subis.
On modélise l’apparition et les coûts des sinistres de la manière suivante :
— les coûts des sinistres (X k ) k1 sont des v.a.r. aléatoires indépendantes,
de même loi ν, d’espérance commune λ et de variance finie a − λ
2 ;
— les temps d’apparition (T n ) n1 des sinistres sont distribués selon un
processus de Poisson (N t ) t0 d’intensité μ. Les intervalles de temps
entre deux sinistres, notés (Δ n ) n1 avec Δ n = T n − T n−1 , sont des
v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle Exp(μ).
— la suite (X k ) k1 et le processus (N t ) t0 sont indépendants.
La réserve de la compagnie d’assurance à l’instant t est par conséquent :
R t = c + pt −
Nt
k=1
X k .
243
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_18
Ruine d’une compagnie d’assurance
Mots-clés. Actuariat ; temps de ruine ; temps d’atteinte ; processus de
Markov à temps continu.
Outils. Processus de Poisson composé ; transformée de Laplace ; fonction
caractéristique ; martingale ; marche aléatoire ; loi des grands nombres ; loi du
logarithme itéré.
Difficulté. *
Ce chapitre est consacré essentiellement à un modèle simple et classique
de risque en assurance, connu sous le nom de modèle de Cramér-Lundberg.
Une nouvelle compagnie d’assurance veut entrer sur le marché. Elle souhaite
évaluer sa probabilité de faillite en fonction du capital initial investi et du prix
de ses polices d’assurance. On suppose que la compagnie a un capital initial
c et on note R t sa réserve à l’instant t. La compagnie d’assurance
— perçoit des cotisations de ses clients que l’on supposera mensualisées,
uniformément réparties sur l’année et constantes au cours du temps :
les recettes de la compagnie pendant un temps t sont donc égales à pt
où p est le taux de cotisations par unité de temps ;
— verse des primes à ses assurés sinistrés en fonction des dommages subis.
On modélise l’apparition et les coûts des sinistres de la manière suivante :
— les coûts des sinistres (X k ) k1 sont des v.a.r. aléatoires indépendantes,
de même loi ν, d’espérance commune λ et de variance finie a − λ
2 ;
— les temps d’apparition (T n ) n1 des sinistres sont distribués selon un
processus de Poisson (N t ) t0 d’intensité μ. Les intervalles de temps
entre deux sinistres, notés (Δ n ) n1 avec Δ n = T n − T n−1 , sont des
v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle Exp(μ).
— la suite (X k ) k1 et le processus (N t ) t0 sont indépendants.
La réserve de la compagnie d’assurance à l’instant t est par conséquent :
R t = c + pt −
Nt
k=1
X k .
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_18