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17 Croissance et fragmentation
g t (s) = se
−t (1 − (1 − e
−kt )s
k )
−1/k .
En particulier, g
k
t est la fonction génératrice de kG où G est une v.a.r. de
loi géométrique sur N
∗ de paramètre e
−kt . Pour la convergence en loi, pour
θ < 0, la transformée de Laplace
E
exp
θe
−kt N
(k)
t
= exp
θe
−kt
e
−t
1 −
1 − e
−kt
exp
θke
−kt
−1/k
=
e
kt exp
−θke
−kt
− e
kt + 1
−1/k
qui converge quand t → ∞ vers
(1 − kθ)
−1/k =
1/k
1/k − θ
1/k
,
qui est la transformée de Laplace au point θ de la loi Gamma(1/k, 1/k). Enfin
(e
−kλt N
(k)
t ) t0 est une martingale bornée dans L
2 , et converge donc p.s. et
dans L
2 , lorsque t → ∞, vers une v.a. de loi Gamma(1/k, 1/k).
La fragmentation serait bien sûr modélisable plus généralement en utilisant une loi sur les partitions de [0, 1] avec un nombre possiblement infini de
morceaux. Cela mène à la théorie probabiliste de la fragmentation.
Supposons que le mécanisme de fragmentation en k + 1 fragments consiste
en une division équitable de la masse. À l’instant t 0, la population de
fragments est constituée de N
(k)
t
individus, positionnés sur un arbre k + 1
régulier (chaque individu fait k + 1 enfants puis meurt). Pour numéroter les
individus, on procède comme dans le chapitre 22, et on introduit les étiquettes
U = ∪
∞
r=0 (N
∗ )
r avec la convention (N
∗ )
0 = ∅, et où (N
∗ )
r sert à numéroter
les individus de la génération r. Les individus vivant à un instant t donné
peuvent appartenir à différentes générations. La population à l’instant t est
un sous-ensemble aléatoire G t de U, et vérifie N
(k)
t
= |G t |. Si X u,t représente
la taille de l’individu u ∈ G t vivant à l’instant t alors la répartition des masses
à l’instant t dans la population est capturée par la mesure empirique
μ t =
1
N
(k)
t
u∈Gt
δ Xu,t .
Cette loi aléatoire donne la masse d’un individu choisi uniformément parmi
ceux vivant à l’instant t. Pour une fonction test f : R + → R, on a
E
f dμ t
= E
1
N
(k)
t
u∈Gt
f (X u,t )
= E(f (X Ut,t ))
où U t est de loi uniforme sur G t . Intuitivement, l’évolution de la masse le long
d’une branche quelconque de l’arbre suit le processus TCP. En réalité, il faut
17 Croissance et fragmentation
g t (s) = se
−t (1 − (1 − e
−kt )s
k )
−1/k .
En particulier, g
k
t est la fonction génératrice de kG où G est une v.a.r. de
loi géométrique sur N
∗ de paramètre e
−kt . Pour la convergence en loi, pour
θ < 0, la transformée de Laplace
E
exp
θe
−kt N
(k)
t
= exp
θe
−kt
e
−t
1 −
1 − e
−kt
exp
θke
−kt
−1/k
=
e
kt exp
−θke
−kt
− e
kt + 1
−1/k
qui converge quand t → ∞ vers
(1 − kθ)
−1/k =
1/k
1/k − θ
1/k
,
qui est la transformée de Laplace au point θ de la loi Gamma(1/k, 1/k). Enfin
(e
−kλt N
(k)
t ) t0 est une martingale bornée dans L
2 , et converge donc p.s. et
dans L
2 , lorsque t → ∞, vers une v.a. de loi Gamma(1/k, 1/k).
La fragmentation serait bien sûr modélisable plus généralement en utilisant une loi sur les partitions de [0, 1] avec un nombre possiblement infini de
morceaux. Cela mène à la théorie probabiliste de la fragmentation.
Supposons que le mécanisme de fragmentation en k + 1 fragments consiste
en une division équitable de la masse. À l’instant t 0, la population de
fragments est constituée de N
(k)
t
individus, positionnés sur un arbre k + 1
régulier (chaque individu fait k + 1 enfants puis meurt). Pour numéroter les
individus, on procède comme dans le chapitre 22, et on introduit les étiquettes
U = ∪
∞
r=0 (N
∗ )
r avec la convention (N
∗ )
0 = ∅, et où (N
∗ )
r sert à numéroter
les individus de la génération r. Les individus vivant à un instant t donné
peuvent appartenir à différentes générations. La population à l’instant t est
un sous-ensemble aléatoire G t de U, et vérifie N
(k)
t
= |G t |. Si X u,t représente
la taille de l’individu u ∈ G t vivant à l’instant t alors la répartition des masses
à l’instant t dans la population est capturée par la mesure empirique
μ t =
1
N
(k)
t
u∈Gt
δ Xu,t .
Cette loi aléatoire donne la masse d’un individu choisi uniformément parmi
ceux vivant à l’instant t. Pour une fonction test f : R + → R, on a
E
f dμ t
= E
1
N
(k)
t
u∈Gt
f (X u,t )
= E(f (X Ut,t ))
où U t est de loi uniforme sur G t . Intuitivement, l’évolution de la masse le long
d’une branche quelconque de l’arbre suit le processus TCP. En réalité, il faut