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17 Croissance et fragmentation
revient à étudier un arbre binaire où la longueur des segments de branches sont
i.i.d. de loi exponentielle de paramètre λ. À l’instant t 0, l’arbre possède
N t branches, et N 0 = 1. Le processus (N t ) t0 est appelé processus de Yule de
paramètre λ. Il s’agit d’un processus de Galton-Watson à temps continu de
loi de reproduction δ 2 . C’est aussi un processus de vie pur à temps continu.
t
0
F1
F4
F2
F5
F3
Fig. 17.3. Début de l’arbre binaire définissant le processus N .
Théorème 17.9 (Taille de la population). Pour tout t 0 la taille de la
population N t suit la loi géométrique sur N
∗ de paramètre e
−λt . En particulier,
E(N t ) = e
λt
et Var(N t ) = (1 − e
−λt )e
2λt .
Démonstration. La propriété d’absence de mémoire des lois exponentielles
permet d’établir que (N t ) t0 est le processus de comptage issu de N 0 = 1 de
la suite de v.a.r. (S n ) n1 où S n = F 1 + · · · + F n avec (F n ) n1 suite de v.a.r.
indépendantes et F n de loi exponentielle de paramètre nλ pour tout n 1.
On a N t − 1 =
∞
n=1 1 [0,t] (S n ). Or d’après le lemme de Rényi 11.3, la v.a.r.
S n a la loi de max(E 1 , . . . , E n ) où E 1 , . . . , E n sont i.i.d. de loi exponentielle
de paramètre λ. Donc, pour tout entier n 0,
P(N t − 1 n) = P(S n t) = P(E 1 t) · · · P(E n t) = (1 − e
−λt )
n .
Considérons le cas où chaque fragmentation donne lieu à k + 1 fragments
où k 1 est fixé. On note (N
(k)
t ) t0 le processus de comptage associé. Pour
tout n 2, le processus issu de n est la somme de n copies i.i.d. du processus
issu de 1. C’est la propriété de superposition ou de branchement. On dit
que (N
(k)
t ) t0 est un processus de Yule de loi de reproduction δ k+1 . Il s’agit
d’un processus de Markov homogène à temps continu d’espace d’état N et de
générateur infinitésimal L
(k) donné pour tous f : N → R et n ∈ N par
17 Croissance et fragmentation
revient à étudier un arbre binaire où la longueur des segments de branches sont
i.i.d. de loi exponentielle de paramètre λ. À l’instant t 0, l’arbre possède
N t branches, et N 0 = 1. Le processus (N t ) t0 est appelé processus de Yule de
paramètre λ. Il s’agit d’un processus de Galton-Watson à temps continu de
loi de reproduction δ 2 . C’est aussi un processus de vie pur à temps continu.
t
0
F1
F4
F2
F5
F3
Fig. 17.3. Début de l’arbre binaire définissant le processus N .
Théorème 17.9 (Taille de la population). Pour tout t 0 la taille de la
population N t suit la loi géométrique sur N
∗ de paramètre e
−λt . En particulier,
E(N t ) = e
λt
et Var(N t ) = (1 − e
−λt )e
2λt .
Démonstration. La propriété d’absence de mémoire des lois exponentielles
permet d’établir que (N t ) t0 est le processus de comptage issu de N 0 = 1 de
la suite de v.a.r. (S n ) n1 où S n = F 1 + · · · + F n avec (F n ) n1 suite de v.a.r.
indépendantes et F n de loi exponentielle de paramètre nλ pour tout n 1.
On a N t − 1 =
∞
n=1 1 [0,t] (S n ). Or d’après le lemme de Rényi 11.3, la v.a.r.
S n a la loi de max(E 1 , . . . , E n ) où E 1 , . . . , E n sont i.i.d. de loi exponentielle
de paramètre λ. Donc, pour tout entier n 0,
P(N t − 1 n) = P(S n t) = P(E 1 t) · · · P(E n t) = (1 − e
−λt )
n .
Considérons le cas où chaque fragmentation donne lieu à k + 1 fragments
où k 1 est fixé. On note (N
(k)
t ) t0 le processus de comptage associé. Pour
tout n 2, le processus issu de n est la somme de n copies i.i.d. du processus
issu de 1. C’est la propriété de superposition ou de branchement. On dit
que (N
(k)
t ) t0 est un processus de Yule de loi de reproduction δ k+1 . Il s’agit
d’un processus de Markov homogène à temps continu d’espace d’état N et de
générateur infinitésimal L
(k) donné pour tous f : N → R et n ∈ N par