17.3 Branchement et croissance-fragmentation
237
X t =
X Tn + t − T n
si T n t < T n+1 ,
Q n+1 (X Tn + T n+1 − T n ) si t = T n+1 ,
où la suite croissante des temps de saut (T n ) n0 est définie par T 0 = 0 et
Tn+1
Tn
λ(X s ) ds =
Tn+1−Tn
0
λ(X Tn + s) ds = E n+1 .
Par exemple, le cas spécial λ(x) = x donne
T n+1 − T n =
2E n+1 + (X Tn ) 2 − X Tn .
Cette construction fournit la trajectoire t → X t sur l’intervalle [0, T ∞ [ où
T ∞ := lim n→∞ T n est le temps d’explosion du processus. Si λ est une fonction
bornée, alors par comparaison au cas constant, on obtient P(T ∞ = ∞) = 1 et
on dit que le processus n’explose pas. Lorsque λ n’est pas bornée, par exemple
λ(x) = x, ce sont les propriétés de Q qui permettent d’établir la non explosion
éventuelle. On peut montrer que le générateur du processus (X t ) t0 est
L(f )(x) = f
(x) + λ(x)
1
0
(f (qx) − f (x)) Q(dq).
Le même procédé permet plus généralement de construire les trajectoires d’un
processus de générateur infinitésimal
L(f )(x) = G(f )(x) + λ(x)
(f (y) − f (x)) K(x, dy)
où K est un noyau markovien, où λ est une fonction positive localement
intégrable, et où G est le générateur d’un processus quelconque, qui «agit»
entre les temps de sauts.
17.3 Branchement et croissance-fragmentation
Le processus TCP permet de modéliser bien plus de choses que la taille de
fenêtre TCP du protocole TCP/IP. On peut penser par exemple à la taille ou
masse d’une cellule, qui grossit linéairement puis subit une division. On peut
également penser à un polymère
6 dont la longueur augmente linéairement
au cours du temps puis subit une dislocation. Du point de vue de la masse,
la division ou la dislocation constituent une fragmentation qui conserve la
masse. Supposons pour simplifier que les fragments obtenus sont toujours au
nombre de deux et évoluent selon le même processus, de manière indépendante. Intéressons-nous à la taille N t de la population à l’instant t 0. Cela
6. Molécule constituée d’une chaîne de molécules identiques (monomères).
237
X t =
X Tn + t − T n
si T n t < T n+1 ,
Q n+1 (X Tn + T n+1 − T n ) si t = T n+1 ,
où la suite croissante des temps de saut (T n ) n0 est définie par T 0 = 0 et
Tn+1
Tn
λ(X s ) ds =
Tn+1−Tn
0
λ(X Tn + s) ds = E n+1 .
Par exemple, le cas spécial λ(x) = x donne
T n+1 − T n =
2E n+1 + (X Tn ) 2 − X Tn .
Cette construction fournit la trajectoire t → X t sur l’intervalle [0, T ∞ [ où
T ∞ := lim n→∞ T n est le temps d’explosion du processus. Si λ est une fonction
bornée, alors par comparaison au cas constant, on obtient P(T ∞ = ∞) = 1 et
on dit que le processus n’explose pas. Lorsque λ n’est pas bornée, par exemple
λ(x) = x, ce sont les propriétés de Q qui permettent d’établir la non explosion
éventuelle. On peut montrer que le générateur du processus (X t ) t0 est
L(f )(x) = f
(x) + λ(x)
1
0
(f (qx) − f (x)) Q(dq).
Le même procédé permet plus généralement de construire les trajectoires d’un
processus de générateur infinitésimal
L(f )(x) = G(f )(x) + λ(x)
(f (y) − f (x)) K(x, dy)
où K est un noyau markovien, où λ est une fonction positive localement
intégrable, et où G est le générateur d’un processus quelconque, qui «agit»
entre les temps de sauts.
17.3 Branchement et croissance-fragmentation
Le processus TCP permet de modéliser bien plus de choses que la taille de
fenêtre TCP du protocole TCP/IP. On peut penser par exemple à la taille ou
masse d’une cellule, qui grossit linéairement puis subit une division. On peut
également penser à un polymère
6 dont la longueur augmente linéairement
au cours du temps puis subit une dislocation. Du point de vue de la masse,
la division ou la dislocation constituent une fragmentation qui conserve la
masse. Supposons pour simplifier que les fragments obtenus sont toujours au
nombre de deux et évoluent selon le même processus, de manière indépendante. Intéressons-nous à la taille N t de la population à l’instant t 0. Cela
6. Molécule constituée d’une chaîne de molécules identiques (monomères).