17.1 Processus TCP window-size en informatique
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Théorème 17.7 (Comportement en temps long par couplage). Soit νP t la loi
au temps t du processus TCP de loi initiale ν et de paramètres λ et Q. Alors,
pour toutes mesures de probabilités ν 1 et ν 2 sur R + possédant un moment
d’ordre p 1 fini, pour tout t 0, en posant θ p := λ(1 − E(Q
p
1 )), on a
W p (ν 1 P t , ν 2 P t ) W p (ν 1 , ν 2 ) exp
−
θ p t
p
.
Démonstration. Considérons un couple (X, Y ) où X et Y partent de x
et y mais utilisent le même N et le même Q (mêmes temps de sauts et
coefficients multiplicateurs). Remarquablement, la quantité |X t − Y t | reste
constante entre deux sauts et au k
e saut elle est multipliée par Q k . Par conséquent, pour tout t 0, on a
E(|X t − Y t |
p ) =
∞
k=0
E
|X t − Y t |
p 1 {Nt=k}
=
∞
k=0
E
|x − y|
p Q
p
1 . . . Q
p
k 1 {Nt=k}
= |x − y|
p
∞
k=0
E(Q
p
1 )
k
P(N t = k)
= |x − y|
p e
−λt(1−E(Q
p
1 )) .
Par conséquent, si X et Y sont deux processus TCP de paramètres λ et Q et
de lois initiales respectives ν 1 et ν 2 , alors pour tout couplage π de ν 1 et ν 2 ,
pour tout t 0 et tout p 1,
W p (ν 1 P t , ν 2 P t )
p
e
−θpt
R+×R+
|x − y|
p π(dx, dy).
Il ne reste plus qu’à prendre l’infimum sur le couplage π de ν 1 et ν 2 pour
conclure la preuve du théorème.
La chaîne incluse
X := (
X n ) n0 = (X Tn ) n0 de X est le processus pris
aux instants de saut. Il s’agit d’une chaîne de Markov homogène à temps
discret et à espace d’états continu R + . Elle vérifie
X 0 = X 0 et constitue un
processus autoregressif linéaire :
X n+1 = Q n+1 (
X n + E n+1 ).
Le noyau de transition
K de
X vaut, pour tout f ∈ C b (R + , R) et x 0,
K(x, f ) = E(f (
X n+1 ) |
X n = x) = λ
[0,1]×R+
e
−λy f (q(x + y)) Q(dq) dy.
Théorème 17.8 (Convergence en loi de la chaîne incluse). Quel que soit X 0
la chaîne incluse (
X n ) n0 converge en loi vers
μ = Loi(
∞
n=1 Q 1 · · · Q n E n ).
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Théorème 17.7 (Comportement en temps long par couplage). Soit νP t la loi
au temps t du processus TCP de loi initiale ν et de paramètres λ et Q. Alors,
pour toutes mesures de probabilités ν 1 et ν 2 sur R + possédant un moment
d’ordre p 1 fini, pour tout t 0, en posant θ p := λ(1 − E(Q
p
1 )), on a
W p (ν 1 P t , ν 2 P t ) W p (ν 1 , ν 2 ) exp
−
θ p t
p
.
Démonstration. Considérons un couple (X, Y ) où X et Y partent de x
et y mais utilisent le même N et le même Q (mêmes temps de sauts et
coefficients multiplicateurs). Remarquablement, la quantité |X t − Y t | reste
constante entre deux sauts et au k
e saut elle est multipliée par Q k . Par conséquent, pour tout t 0, on a
E(|X t − Y t |
p ) =
∞
k=0
E
|X t − Y t |
p 1 {Nt=k}
=
∞
k=0
E
|x − y|
p Q
p
1 . . . Q
p
k 1 {Nt=k}
= |x − y|
p
∞
k=0
E(Q
p
1 )
k
P(N t = k)
= |x − y|
p e
−λt(1−E(Q
p
1 )) .
Par conséquent, si X et Y sont deux processus TCP de paramètres λ et Q et
de lois initiales respectives ν 1 et ν 2 , alors pour tout couplage π de ν 1 et ν 2 ,
pour tout t 0 et tout p 1,
W p (ν 1 P t , ν 2 P t )
p
e
−θpt
R+×R+
|x − y|
p π(dx, dy).
Il ne reste plus qu’à prendre l’infimum sur le couplage π de ν 1 et ν 2 pour
conclure la preuve du théorème.
La chaîne incluse
X := (
X n ) n0 = (X Tn ) n0 de X est le processus pris
aux instants de saut. Il s’agit d’une chaîne de Markov homogène à temps
discret et à espace d’états continu R + . Elle vérifie
X 0 = X 0 et constitue un
processus autoregressif linéaire :
X n+1 = Q n+1 (
X n + E n+1 ).
Le noyau de transition
K de
X vaut, pour tout f ∈ C b (R + , R) et x 0,
K(x, f ) = E(f (
X n+1 ) |
X n = x) = λ
[0,1]×R+
e
−λy f (q(x + y)) Q(dq) dy.
Théorème 17.8 (Convergence en loi de la chaîne incluse). Quel que soit X 0
la chaîne incluse (
X n ) n0 converge en loi vers
μ = Loi(
∞
n=1 Q 1 · · · Q n E n ).