17.1 Processus TCP window-size en informatique
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Comme α 0 est constante égale à 1, on obtient l’équation différentielle ordinaire
α
1 (t) = 1−θ 1 α 1 (t) qui donne α 1 . Une récurrence sur n (système triangulaire !)
fournit la formule annoncée pour (α n ) n0 .
Comme θ p θ 1 pour p 1, les moments de μ sont majorés par ceux d’une
loi exponentielle de paramètre θ 1 . Ceci entraine que sa transformée de Laplace
est finie sur ] − ∞, θ 1 [. Elle est donc holomorphe sur un voisinage (dans C) de
l’origine. En particulier, la fonction caractéristique de μ est analytique sur un
voisinage (dans R) de l’origine. Le théorème 21.7 assure alors que la loi μ est
caractérisée par ses moments.
Ainsi, conditionnellement à {X 0 = x}, chaque moment de X t converge
quand t → ∞ vers une limite finie. Le fait que cette suite de limites soit la
suite des moments d’une loi et que X t converge en loi vers cette loi découle
d’une étude similaire à celle menée dans la preuve du théorème de Wigner par
la méthode des moments dans le chapitre 21. On prendra garde au fait qu’on
se trouve ici sur R + et non pas sur R tout entier.
Remarque 17.3 (Décomposition spectrale). Pour tous n 0 et t 0, les
opérateurs L et P t , restreints à l’ensemble R n [X] des polynômes de degré
inférieur ou égal à n, sont des endomorphismes dont les valeurs propres sont
respectivement (−θ k ) 0kn et (e
−tθ k ) 0kn .
Remarque 17.4 (Croissance-annihilation
5 ). Si Q = δ 0 alors le moment
d’ordre n de la loi invariante μ de X vaut n!/λ
n ce qui assure que μ est la loi
exponentielle de paramère λ.
Remarque 17.5 (Loi du processus à un instant donné). Plaçons-nous dans
le cas où Q = δ q avec 0 < q < 1 et conditionnellement à {X 0 = x} avec
x 0. Alors pour tout t > 0, il existe une loi absolument continue μ t portée
par l’intervalle [0, qx + t] telle que
Loi(X t ) = e
−λt δ x+t + (1 − e
−λt )μ t
et dist(x + t, supp(μ t )) = (1 − q)x. En effet, conditionnellement à {N t = n},
X t =
x + t
si n = 0,
q
n x +
n+1
k=1 q
n−k+1 (U k − U k−1 ) si n > 0,
où 0 = U 0 < U 1 < · · · < U n < U n+1 = t est une statistique d’ordre uniforme
sur [0, t]. Ainsi, Loi(X t | N t = 0) = δ x+t tandis que Loi(X t | N t = n) est absolument continue si n > 0, portée par [q
n (x + t), q
n x + t]. D’où le résultat avec
μ t = Loi(X t | N t > 0). Ceci montre que X est asymptotiquement régularisant
car la masse de la partie atomique de μ t tend vers 0 quand t → ∞. C’est le
mécanisme de sauts, seul source d’aléa, qui en est responsable.
5. «Growth-collapse» en anglais.
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Comme α 0 est constante égale à 1, on obtient l’équation différentielle ordinaire
α
1 (t) = 1−θ 1 α 1 (t) qui donne α 1 . Une récurrence sur n (système triangulaire !)
fournit la formule annoncée pour (α n ) n0 .
Comme θ p θ 1 pour p 1, les moments de μ sont majorés par ceux d’une
loi exponentielle de paramètre θ 1 . Ceci entraine que sa transformée de Laplace
est finie sur ] − ∞, θ 1 [. Elle est donc holomorphe sur un voisinage (dans C) de
l’origine. En particulier, la fonction caractéristique de μ est analytique sur un
voisinage (dans R) de l’origine. Le théorème 21.7 assure alors que la loi μ est
caractérisée par ses moments.
Ainsi, conditionnellement à {X 0 = x}, chaque moment de X t converge
quand t → ∞ vers une limite finie. Le fait que cette suite de limites soit la
suite des moments d’une loi et que X t converge en loi vers cette loi découle
d’une étude similaire à celle menée dans la preuve du théorème de Wigner par
la méthode des moments dans le chapitre 21. On prendra garde au fait qu’on
se trouve ici sur R + et non pas sur R tout entier.
Remarque 17.3 (Décomposition spectrale). Pour tous n 0 et t 0, les
opérateurs L et P t , restreints à l’ensemble R n [X] des polynômes de degré
inférieur ou égal à n, sont des endomorphismes dont les valeurs propres sont
respectivement (−θ k ) 0kn et (e
−tθ k ) 0kn .
Remarque 17.4 (Croissance-annihilation
5 ). Si Q = δ 0 alors le moment
d’ordre n de la loi invariante μ de X vaut n!/λ
n ce qui assure que μ est la loi
exponentielle de paramère λ.
Remarque 17.5 (Loi du processus à un instant donné). Plaçons-nous dans
le cas où Q = δ q avec 0 < q < 1 et conditionnellement à {X 0 = x} avec
x 0. Alors pour tout t > 0, il existe une loi absolument continue μ t portée
par l’intervalle [0, qx + t] telle que
Loi(X t ) = e
−λt δ x+t + (1 − e
−λt )μ t
et dist(x + t, supp(μ t )) = (1 − q)x. En effet, conditionnellement à {N t = n},
X t =
x + t
si n = 0,
q
n x +
n+1
k=1 q
n−k+1 (U k − U k−1 ) si n > 0,
où 0 = U 0 < U 1 < · · · < U n < U n+1 = t est une statistique d’ordre uniforme
sur [0, t]. Ainsi, Loi(X t | N t = 0) = δ x+t tandis que Loi(X t | N t = n) est absolument continue si n > 0, portée par [q
n (x + t), q
n x + t]. D’où le résultat avec
μ t = Loi(X t | N t > 0). Ceci montre que X est asymptotiquement régularisant
car la masse de la partie atomique de μ t tend vers 0 quand t → ∞. C’est le
mécanisme de sauts, seul source d’aléa, qui en est responsable.
5. «Growth-collapse» en anglais.