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17 Croissance et fragmentation
On dit que ce semi-groupe est markovien car il préserve la positivité et l’unité :
P t (f ) 0 si f 0 et P t (1) = 1. On dit qu’une fonction mesurable et bornée
f : R + → R appartient au domaine du générateur L du processus lorsque la
limite suivante existe pour tout x 0 :
L(f )(x) = lim
t→0 +
P t (f )(x) − f (x)
t
= ∂ t=0 P t (f )(x).
Tout se passe comme si «P t = e
tL ». On peut établir que la propriété de
semi-groupe donne, pour tout t 0 et toute fonction f de classe C
1 ,
∂ t P t (f ) = lim
ε→0
P t
P ε f − f
t
= P t (Lf )
∂ t P t (f ) = lim
ε→0
P ε (P t f ) − P t f
t
= L(P t f ).
On dit qu’il s’agit des équations de Chapman-Kolmogorov progressive et rétrograde respectivement («forward» et «backward» en anglais).
Le théorème 17.1 affirme que le domaine du générateur L contient les
fonctions de classe C
1 . Il se trouve de plus que le générateur conserve les
polynômes sans augmenter leur degré. Cela permet de calculer les moments
de manière récursive.
Théorème 17.2 (Moments et loi invariante). Pour tout n ∈ N, tout x 0
et tout t 0, le moment d’ordre n de la loi de X t sachant {X 0 = x} vérifie
E(X
n
t | X 0 = x) =
n!
n
k=1 θ k
+ n!
n
m=1
m
k=0
x
k
k!
n
j=k
j =m
1
θ j − θ m
e
−θmt
où θ p := λ(1 − E(Q
p
1 )). De plus, conditionnellement à {X 0 = x}, la variable
X t converge en loi quand t → ∞ vers la loi μ sur R + dont les moments sont
x
n μ(dx) =
n!
n
k=1 θ k
pour tout n 0. Enfin, tous les moments de X t convergent vers ceux de μ.
Démonstration. Posons α n (t) = E(X
n
t | X 0 = x) = P t (f n )(x) où f n (x) = x
n .
Pour tout n 1, le théorème 17.1 donne
Lf n (x) = nx
n−1 + λx
n
1
0
(q
n
− 1) Q(dq) = nf n−1 (x) − θ n f n (x)
et donc, en utilisant l’équation de Chapman-Kolmogorov progressive,
α
n (t) = ∂ t P t (f n )(x) = P t (Lf n )(x) = P t (nf n−1 − θ n f n )(x)
= nα n−1 (t) − θ n α n (t).
17 Croissance et fragmentation
On dit que ce semi-groupe est markovien car il préserve la positivité et l’unité :
P t (f ) 0 si f 0 et P t (1) = 1. On dit qu’une fonction mesurable et bornée
f : R + → R appartient au domaine du générateur L du processus lorsque la
limite suivante existe pour tout x 0 :
L(f )(x) = lim
t→0 +
P t (f )(x) − f (x)
t
= ∂ t=0 P t (f )(x).
Tout se passe comme si «P t = e
tL ». On peut établir que la propriété de
semi-groupe donne, pour tout t 0 et toute fonction f de classe C
1 ,
∂ t P t (f ) = lim
ε→0
P t
P ε f − f
t
= P t (Lf )
∂ t P t (f ) = lim
ε→0
P ε (P t f ) − P t f
t
= L(P t f ).
On dit qu’il s’agit des équations de Chapman-Kolmogorov progressive et rétrograde respectivement («forward» et «backward» en anglais).
Le théorème 17.1 affirme que le domaine du générateur L contient les
fonctions de classe C
1 . Il se trouve de plus que le générateur conserve les
polynômes sans augmenter leur degré. Cela permet de calculer les moments
de manière récursive.
Théorème 17.2 (Moments et loi invariante). Pour tout n ∈ N, tout x 0
et tout t 0, le moment d’ordre n de la loi de X t sachant {X 0 = x} vérifie
E(X
n
t | X 0 = x) =
n!
n
k=1 θ k
+ n!
n
m=1
m
k=0
x
k
k!
n
j=k
j =m
1
θ j − θ m
e
−θmt
où θ p := λ(1 − E(Q
p
1 )). De plus, conditionnellement à {X 0 = x}, la variable
X t converge en loi quand t → ∞ vers la loi μ sur R + dont les moments sont
x
n μ(dx) =
n!
n
k=1 θ k
pour tout n 0. Enfin, tous les moments de X t convergent vers ceux de μ.
Démonstration. Posons α n (t) = E(X
n
t | X 0 = x) = P t (f n )(x) où f n (x) = x
n .
Pour tout n 1, le théorème 17.1 donne
Lf n (x) = nx
n−1 + λx
n
1
0
(q
n
− 1) Q(dq) = nf n−1 (x) − θ n f n (x)
et donc, en utilisant l’équation de Chapman-Kolmogorov progressive,
α
n (t) = ∂ t P t (f n )(x) = P t (Lf n )(x) = P t (nf n−1 − θ n f n )(x)
= nα n−1 (t) − θ n α n (t).