17.1 Processus TCP window-size en informatique
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= f
(x) + λ
1
0
(f (qx) − f (x)) Q(dq).
Le processus X n’explose pas car N n’explose pas. L’espérance conditionnelle E(f (X t ) | X 0 = x) a un sens car sur {X 0 = x}, on a X t x + t, et
comme f est C
1 , la v.a.r. f (X t ) est bornée.
Démonstration. Soit f ∈ C
1 (R + , R) et t 1. Par définition de X et N ,
E
f (X t )1 {Nt=0} | X 0 = x
= f (x + t)P(N t = 0) = f (x + t)e
−λt
= (f (x) + f
(x)t + o(t))(1 − λt + o(t))
= f (x) + t(f
(x) − λf (x)) + o(t).
Conditionnellement à {N t = 1}, T 1 suit la loi uniforme sur [0, t], donc
E(f (X t ) | X 0 = x, N t = 1) = E(f (Q 1 (x + T 1 ) + t − T 1 ) | N t = 1)
=
t
0
ds
t
1
0
Q(dq)f (q(x + s) + t − s)
=
1
0
Q(dq)f (qx) + o(1)
où le o(1) (quand t → 0) provient de la continuité de f , et donc
E
f (X t )1 {Nt=1} |X 0 = x
= P(N t = 1)
1
0
Q(dq)f (xq) + o(1)
= λt
1
0
Q(dq)f (xq) + o(t).
Troisièmement, sur {X 0 = x} on a X t x + t et donc comme t 1, on a
E
f (X t )1 {Nt2} | X 0 = x
sup
u∈[0,x+1]
|f (u)|
P(N t 2) = O(t
2 ).
Finalement, la collecte des trois termes donne bien le résultat voulu.
Pour tout t 0 on considère l’opérateur linéaire P t qui à toute fonction
f : R + → R mesurable et bornée associe la fonction mesurable et bornée
x ∈ R + → P t f (x) = E(f (X t ) | X 0 = x).
Cette quantité fait encore sens pour f mesurable et localement bornée (par
exemple continue) car conditionnellement à X 0 = x, X t prend ses valeurs dans
l’intervalle borné [0, x + t]. On a P 0 = I et la propriété de Markov entraîne
que (P t ) t0 est un semi-groupe :
P t+s = P s+t = P t ◦ P s .