230
17 Croissance et fragmentation
et la suite E = (E n ) n1 est constituée de variables aléatoires i.i.d. de loi
exponentielle de moyenne 1/λ. Pour tout t ∈ R + on a
N t =
n1
1 [0,t] (T n ).
Soit Q = (Q n ) n1 une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs
dans [0, 1[ de même loi Q. Soit X 0 une variable aléatoire positive. On suppose
que X 0 , E, et Q sont indépendants. On définit le processus X = (X t ) t0 à
temps continu et à espace d’états R + de la manière suivante :
X t =
X Tn + t − T n
si T n t < T n+1 ,
Q n+1 (X Tn + T n+1 − T n ) si t = T n+1 ,
où n = N t ∈ N est le nombre de sauts avant l’instant t. Les trajectoires de X
sont affines de pente 1 par morceaux, continues à droite avec limite à gauche,
et chaque saut correspond à une multiplication par un nombre dans [0, 1[ .
On dit qu’il s’agit d’un processus de Markov déterministe par morceaux
2
et plus particulièrement un processus à croissance linéaire et décroissance
multiplicative
3 . Le processus X est connu sous le nom de processus de taille
de fenêtre TCP
4 car en informatique, le débit maximal sortant est réglé par
une taille de « fenêtre TCP ».
t
0
T1
T2
Xt
X0
Fig. 17.1. Allure d’une trajectoire typique du processus X.
Théorème 17.1 (Générateur infinitésimal). Le générateur infinitésimal du
processus X est donné, pour toute fonction f ∈ C
1 (R + , R) et tout x 0, par
L(f )(x) := lim
t→0 +
E(f (X t ) | X 0 = x) − f (x)
t
2. «Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP)» en anglais.
3. «Additive Increase Multiplicative Decrease (AIMD)» en anglais.
4. «TCP window-size process» en anglais.