17
Croissance et fragmentation
Mots-clés. Modèle de croissance et de fragmentation ; processus de Markov déterministe par morceaux ; générateur infinitésimal ; processus de Yule.
Outils. Processus de Poisson ; couplage ; distance de Wasserstein ; processus autorégressif ; loi exponentielle ; loi géométrique ; fonction génératrice ;
transformée de Laplace.
Difficulté. **
17.1 Processus TCP window-size en informatique
Le débit instantané maximal sortant d’un ordinateur connecté à un réseau
TCP/IP
1 comme Internet est régulé par l’algorithme suivant : le débit maximal est augmenté de manière déterministe d’une unité à chaque pas de temps,
et en cas de signal de congestion, il est multiplié par un facteur entre [0, 1[ , typiquement 1/2. Ce mécanisme simple permet à la fois une bonne exploitation
du réseau et une réaction efficace en cas de congestion.
Nous allons étudier un modèle markovien idéalisé de ce mécanisme. Si
on admet que, pendant une durée donnée, chacun des autres ordinateurs du
réseau provoque une congestion avec une petite probabilité, indépendamment
des autres, alors la loi des petits nombres suggère que les signaux de congestion
suivent un processus de Poisson. Soit N = (N t ) t0 un processus de Poisson
issu de 0 et d’intensité λ comptant les signaux de congestion, de temps de
saut successifs (T n ) n0 , où T 0 := 0. Si E n := T n − T n−1 pour tout n 1 alors
T n = E 1 + · · · + E n ,
1. Pour «Transmission Control Protocol» et «Internet Protocol».
229
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_17
Croissance et fragmentation
Mots-clés. Modèle de croissance et de fragmentation ; processus de Markov déterministe par morceaux ; générateur infinitésimal ; processus de Yule.
Outils. Processus de Poisson ; couplage ; distance de Wasserstein ; processus autorégressif ; loi exponentielle ; loi géométrique ; fonction génératrice ;
transformée de Laplace.
Difficulté. **
17.1 Processus TCP window-size en informatique
Le débit instantané maximal sortant d’un ordinateur connecté à un réseau
TCP/IP
1 comme Internet est régulé par l’algorithme suivant : le débit maximal est augmenté de manière déterministe d’une unité à chaque pas de temps,
et en cas de signal de congestion, il est multiplié par un facteur entre [0, 1[ , typiquement 1/2. Ce mécanisme simple permet à la fois une bonne exploitation
du réseau et une réaction efficace en cas de congestion.
Nous allons étudier un modèle markovien idéalisé de ce mécanisme. Si
on admet que, pendant une durée donnée, chacun des autres ordinateurs du
réseau provoque une congestion avec une petite probabilité, indépendamment
des autres, alors la loi des petits nombres suggère que les signaux de congestion
suivent un processus de Poisson. Soit N = (N t ) t0 un processus de Poisson
issu de 0 et d’intensité λ comptant les signaux de congestion, de temps de
saut successifs (T n ) n0 , où T 0 := 0. Si E n := T n − T n−1 pour tout n 1 alors
T n = E 1 + · · · + E n ,
1. Pour «Transmission Control Protocol» et «Internet Protocol».
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_17