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16 Percolation
Lemme 16.9 (Minoration). Pour tout d 2 on a p c (d) 1/κ(d).
Démonstration du lemme 16.9. Soit n 1 et N n la v.a. égale au nombre
d’éléments de C
d
n inclus dans l’ensemble aléatoire d’arêtes C(0) sous P p . Si
|C(0)| = ∞, alors N n 1. D’autre part, un élément de C
d
n est issu de l’origine et possède exactement n arêtes distinctes. Par indépendance, il a une
probabilité p
n d’avoir toutes ses arêtes dans C(0). Ainsi
θ d (p) P p (N n 1) = E p (1 Nn1 ) E p (N n ) p
n κ n (d).
Le lemme 16.8 donne κ n (d)
1/n = κ(d) + o n (1), d’où θ d (p) (pκ(d) + o n (1))
n .
Par conséquent, si pκ(d) < 1 alors on obtient θ d (p) = 0 quand n → ∞.
Lemme 16.10 (Décroissance). Si 2 d d
alors θ d θ d et p c (d
) p c (d).
Démonstration du lemme 16.10. L’idée est de procéder par couplage comme
dans la preuve du lemme 16.1. Comme le graphe E d est identifiable au graphe
de E d correspondant par exemple aux d premières coordonnées dans Z
d
,
on peut coupler, pour tout p ∈ [0, 1] fixé, les graphes aléatoires (Z
d , F ) et
(Z
d
, F
) de E d et E d sous P p de sorte que
θ d (p) = P p (0 ↔ +∞ dans E d ) P p (0 ↔ +∞ dans E d ) = θ d (p).
Il en découle en particulier que p c (d) p c (d
).
Lemme 16.11 (Majoration). Si d = 2 alors p c (2) 1 − 1/κ(2).
Démonstration du lemme 16.11. Le graphe dual E
∗
2 = (V
∗ , E
∗ ) du graphe
E 2 = (V, E) est le translaté de E 2 par le vecteur (1/2, 1/2) (voir la figure 16.3).
Chaque arête e du graphe initial rencontre une et une seule arête e ∗ du graphe
dual. On construit le graphe aléatoire (V
∗ , F
∗ ) de E
∗
2 à partir du graphe
aléatoire (V, F ) de E 2 sous P p en décidant que e ∗ ∈ F
∗ ssi e ∈ F .
Une boucle auto-évitante (ou courbe de Jordan !) de longueur n est un
chemin (x 0 , x 1 , . . . , x n ) tel que le chemin (x 0 , x 1 , . . . , x n−1 ) est auto-évitant
et x n = x 0 . Son complémentaire est formé de deux composantes connexes,
l’une bornée (appelée intérieur) et l’autre pas.
Soit Λ(m) := [−m, m]
2 . On introduit les évènements suivants :
F m := {Λ(m) est à l’intérieur d’une boucle
auto-évitante de E
∗
2 à arêtes dans F
∗
},
et
G m := {les arêtes reliant les sommets de Λ(m) sont dans F }.
Il y a percolation en 0 sur l’événement F
c
m ∩ G m , et comme F m et G m
concernent des ensembles d’arêtes disjoints, ils sont indépendants sur P p .
Considérons à présent une boucle γ dont l’intérieur contient Λ(m). Sa longueur
n est nécessairement supérieure à 4m. De plus, elle contient nécessairement au
16 Percolation
Lemme 16.9 (Minoration). Pour tout d 2 on a p c (d) 1/κ(d).
Démonstration du lemme 16.9. Soit n 1 et N n la v.a. égale au nombre
d’éléments de C
d
n inclus dans l’ensemble aléatoire d’arêtes C(0) sous P p . Si
|C(0)| = ∞, alors N n 1. D’autre part, un élément de C
d
n est issu de l’origine et possède exactement n arêtes distinctes. Par indépendance, il a une
probabilité p
n d’avoir toutes ses arêtes dans C(0). Ainsi
θ d (p) P p (N n 1) = E p (1 Nn1 ) E p (N n ) p
n κ n (d).
Le lemme 16.8 donne κ n (d)
1/n = κ(d) + o n (1), d’où θ d (p) (pκ(d) + o n (1))
n .
Par conséquent, si pκ(d) < 1 alors on obtient θ d (p) = 0 quand n → ∞.
Lemme 16.10 (Décroissance). Si 2 d d
alors θ d θ d et p c (d
) p c (d).
Démonstration du lemme 16.10. L’idée est de procéder par couplage comme
dans la preuve du lemme 16.1. Comme le graphe E d est identifiable au graphe
de E d correspondant par exemple aux d premières coordonnées dans Z
d
,
on peut coupler, pour tout p ∈ [0, 1] fixé, les graphes aléatoires (Z
d , F ) et
(Z
d
, F
) de E d et E d sous P p de sorte que
θ d (p) = P p (0 ↔ +∞ dans E d ) P p (0 ↔ +∞ dans E d ) = θ d (p).
Il en découle en particulier que p c (d) p c (d
).
Lemme 16.11 (Majoration). Si d = 2 alors p c (2) 1 − 1/κ(2).
Démonstration du lemme 16.11. Le graphe dual E
∗
2 = (V
∗ , E
∗ ) du graphe
E 2 = (V, E) est le translaté de E 2 par le vecteur (1/2, 1/2) (voir la figure 16.3).
Chaque arête e du graphe initial rencontre une et une seule arête e ∗ du graphe
dual. On construit le graphe aléatoire (V
∗ , F
∗ ) de E
∗
2 à partir du graphe
aléatoire (V, F ) de E 2 sous P p en décidant que e ∗ ∈ F
∗ ssi e ∈ F .
Une boucle auto-évitante (ou courbe de Jordan !) de longueur n est un
chemin (x 0 , x 1 , . . . , x n ) tel que le chemin (x 0 , x 1 , . . . , x n−1 ) est auto-évitant
et x n = x 0 . Son complémentaire est formé de deux composantes connexes,
l’une bornée (appelée intérieur) et l’autre pas.
Soit Λ(m) := [−m, m]
2 . On introduit les évènements suivants :
F m := {Λ(m) est à l’intérieur d’une boucle
auto-évitante de E
∗
2 à arêtes dans F
∗
},
et
G m := {les arêtes reliant les sommets de Λ(m) sont dans F }.
Il y a percolation en 0 sur l’événement F
c
m ∩ G m , et comme F m et G m
concernent des ensembles d’arêtes disjoints, ils sont indépendants sur P p .
Considérons à présent une boucle γ dont l’intérieur contient Λ(m). Sa longueur
n est nécessairement supérieure à 4m. De plus, elle contient nécessairement au