16.3 Graphe euclidien (grille)
221
Lemme 16.6 (Petite classe). Pour tous d 1, x ∈ Z
d , p ∈ [0, 1],
P p (C(x) = {x}) = (1 − p)
2d
et P p (|C(x)| = 2) = p(1 − p)
2(2d−1) .
Démonstration. On a |C(x)| = 1 si et seulement si x n’est relié à aucun de
ses 2d voisins, tandis que |C(x)| = 2 si et seulement si x n’est relié qu’à un
seul de ses 2d voisins, lui-même n’étant relié qu’à x.
Théorème 16.7 (Phénomène de seuil pour percolation sur graphe euclidien).
Pour tous 2 d d
on a θ d θ d et p c (d) p c (d
). De plus on a
0 <
1
2d − 1
1
κ(d)
p c (d) 1 −
1
κ(2)
2
3
< 1,
où la constante κ(d) est définie dans le lemme 16.8.
La constante κ(d) est appelée constante de connectivité de E d . Pour plus
de clarté, la démonstration du théorème 16.7 est découpée en quatre lemmes.
Lemme 16.8 (Constante de connectivité). Pour tous d 2 et n 1 soit
κ n (d) le cardinal de l’ensemble C
d
n des chemins auto-évitants dans E d de longueur n issus de l’origine 0. On a
d
n
κ n (d) 2d(2d − 1)
n−1 .
De plus, la suite (κ n (d)
1/n ) n1 converge et sa limite κ(d) vérifie
d κ(d) 2d − 1.
Démonstration du lemme 16.8. La première arête d’un chemin auto-évitant
issu de 0 peut être choisie parmi les 2d arêtes issues de 0. Pour les pas suivants,
les retours en arrière sont proscrits, d’où k n (d) 2d(2d − 1)
n−1 . La borne
inférieure k n (d) d
n est obtenue en remarquant que tout chemin issu de 0
dont les coordonnées des sommets successifs sont croissantes est auto-évitant.
La suite (κ n (d)) n1 est sous-multiplicative : pour tous n, m 1,
κ n+m (d) κ n (d)κ m (d),
car si (0, x 1 , . . . , x n+m ) ∈ C
d
n+m alors
(0, x 1 , . . . , x n ) ∈ C
d
n
et (0, x n+1 − x n , . . . , x n+m − x n ) ∈ C
d
m .
La suite (log(κ n (d))) n1 est donc sous-additive, et le lemme de Fekete
2 donne
lim
n→∞
log(κ n (d))
n
= λ où λ := inf
n1
log(κ n (d))
n
∈ [−∞, ∞[.
Ceci donne κ(d) = e
λ , et l’encadrement de κ(d) découle de celui de κ n (d).
2. Si un+m un + um pour tous m, n 1 alors
un
n
−→
n→∞
inf n1
un
n
∈ [−∞, ∞[.
221
Lemme 16.6 (Petite classe). Pour tous d 1, x ∈ Z
d , p ∈ [0, 1],
P p (C(x) = {x}) = (1 − p)
2d
et P p (|C(x)| = 2) = p(1 − p)
2(2d−1) .
Démonstration. On a |C(x)| = 1 si et seulement si x n’est relié à aucun de
ses 2d voisins, tandis que |C(x)| = 2 si et seulement si x n’est relié qu’à un
seul de ses 2d voisins, lui-même n’étant relié qu’à x.
Théorème 16.7 (Phénomène de seuil pour percolation sur graphe euclidien).
Pour tous 2 d d
on a θ d θ d et p c (d) p c (d
). De plus on a
0 <
1
2d − 1
1
κ(d)
p c (d) 1 −
1
κ(2)
2
3
< 1,
où la constante κ(d) est définie dans le lemme 16.8.
La constante κ(d) est appelée constante de connectivité de E d . Pour plus
de clarté, la démonstration du théorème 16.7 est découpée en quatre lemmes.
Lemme 16.8 (Constante de connectivité). Pour tous d 2 et n 1 soit
κ n (d) le cardinal de l’ensemble C
d
n des chemins auto-évitants dans E d de longueur n issus de l’origine 0. On a
d
n
κ n (d) 2d(2d − 1)
n−1 .
De plus, la suite (κ n (d)
1/n ) n1 converge et sa limite κ(d) vérifie
d κ(d) 2d − 1.
Démonstration du lemme 16.8. La première arête d’un chemin auto-évitant
issu de 0 peut être choisie parmi les 2d arêtes issues de 0. Pour les pas suivants,
les retours en arrière sont proscrits, d’où k n (d) 2d(2d − 1)
n−1 . La borne
inférieure k n (d) d
n est obtenue en remarquant que tout chemin issu de 0
dont les coordonnées des sommets successifs sont croissantes est auto-évitant.
La suite (κ n (d)) n1 est sous-multiplicative : pour tous n, m 1,
κ n+m (d) κ n (d)κ m (d),
car si (0, x 1 , . . . , x n+m ) ∈ C
d
n+m alors
(0, x 1 , . . . , x n ) ∈ C
d
n
et (0, x n+1 − x n , . . . , x n+m − x n ) ∈ C
d
m .
La suite (log(κ n (d))) n1 est donc sous-additive, et le lemme de Fekete
2 donne
lim
n→∞
log(κ n (d))
n
= λ où λ := inf
n1
log(κ n (d))
n
∈ [−∞, ∞[.
Ceci donne κ(d) = e
λ , et l’encadrement de κ(d) découle de celui de κ n (d).
2. Si un+m un + um pour tous m, n 1 alors
un
n
−→
n→∞
inf n1
un
n
∈ [−∞, ∞[.