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16 Percolation
loi géométrique de paramètre 1 − p, et θ 2 = 1 1 et p c (2) = 1. Pour r = 3 et
r = 4 l’équation vérifiée par θ r (p) fournie par le théorème 16.3 est résoluble
explicitement (voir la figure 16.3) :
θ 3 (p) =
2p − 1
p 2 1 {p>1/2} et θ 4 (p) =
3p
2
−
4p 3 − 3p 4
2p 3
1 {p>1/3} .
Remarque 16.5 (Taille moyenne de la composante de la racine). Reprenons
la preuve du théorème 16.3, et supposons que p p c (r). Alors |C(0)| < ∞
p.s. car la lignée de la racine s’éteint p.s. De plus d’après la section 3.3 la
fonction génératrice h de |C(0)| est solution de l’équation
h(s) = s(ph(s) + 1 − p)
r−1 .
En particulier on obtient
E p (|C(0)|) =
⎧
⎨
⎩
1
1 − p(r − 1)
si p < p c (r),
∞
si p = p c (r).
D’autre part, si p ∈ ]p c , 1[ alors il existe une infinité de classes de taille infinie
car les individus non reliés à leur père sont les racines d’arbres aléatoires
disjoints i.i.d. Cette situation, liée à la structure d’arbre, est très différente de
celle du graphe euclidien étudié dans la suite.
16.3 Graphe euclidien (grille)
On considère dans cette section le cas où (V, E) est le graphe euclidien E d :
V = Z
d et E =
{x, y} ∈ P 2 (Z
d ) : |x − y| 1 =
d
i=1
|x i − y i | = 1
.
La probabilité de percolation et la probabilité critique pour le sommet racine
∅ = 0 dans E d sous P p sont respectivement notées
θ d (p) := P p (0 ↔ ∞) = P p (|C(0)| = ∞)
p c (d) := sup {p ∈ [0, 1] : θ d (p) = 0}.
Pour d = 1, le graphe E 1 est identifiable au graphe Z, pour tout x ∈ Z, sous
P p , la variable aléatoire |C(x)| a la loi de G − + G + − 1 où G − et G + sont
des variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramètre 1 − p.
Ainsi pour d = 1 on obtient θ 1 = 1 1 et p c (1) = 1.
Dès que d > 1, la probabilité de l’évènement {x ↔ y} pour E d sous P p
n’est pas explicite même pour x ∼ y car toutes les arêtes du graphe sont
susceptibles de jouer un rôle, contrairement au cas des graphes de Bethe. Du
point de vue de la connectivité, la grille est beaucoup plus complexe qu’un
arbre car la présence de cycles permet de faire des détours.
16 Percolation
loi géométrique de paramètre 1 − p, et θ 2 = 1 1 et p c (2) = 1. Pour r = 3 et
r = 4 l’équation vérifiée par θ r (p) fournie par le théorème 16.3 est résoluble
explicitement (voir la figure 16.3) :
θ 3 (p) =
2p − 1
p 2 1 {p>1/2} et θ 4 (p) =
3p
2
−
4p 3 − 3p 4
2p 3
1 {p>1/3} .
Remarque 16.5 (Taille moyenne de la composante de la racine). Reprenons
la preuve du théorème 16.3, et supposons que p p c (r). Alors |C(0)| < ∞
p.s. car la lignée de la racine s’éteint p.s. De plus d’après la section 3.3 la
fonction génératrice h de |C(0)| est solution de l’équation
h(s) = s(ph(s) + 1 − p)
r−1 .
En particulier on obtient
E p (|C(0)|) =
⎧
⎨
⎩
1
1 − p(r − 1)
si p < p c (r),
∞
si p = p c (r).
D’autre part, si p ∈ ]p c , 1[ alors il existe une infinité de classes de taille infinie
car les individus non reliés à leur père sont les racines d’arbres aléatoires
disjoints i.i.d. Cette situation, liée à la structure d’arbre, est très différente de
celle du graphe euclidien étudié dans la suite.
16.3 Graphe euclidien (grille)
On considère dans cette section le cas où (V, E) est le graphe euclidien E d :
V = Z
d et E =
{x, y} ∈ P 2 (Z
d ) : |x − y| 1 =
d
i=1
|x i − y i | = 1
.
La probabilité de percolation et la probabilité critique pour le sommet racine
∅ = 0 dans E d sous P p sont respectivement notées
θ d (p) := P p (0 ↔ ∞) = P p (|C(0)| = ∞)
p c (d) := sup {p ∈ [0, 1] : θ d (p) = 0}.
Pour d = 1, le graphe E 1 est identifiable au graphe Z, pour tout x ∈ Z, sous
P p , la variable aléatoire |C(x)| a la loi de G − + G + − 1 où G − et G + sont
des variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramètre 1 − p.
Ainsi pour d = 1 on obtient θ 1 = 1 1 et p c (1) = 1.
Dès que d > 1, la probabilité de l’évènement {x ↔ y} pour E d sous P p
n’est pas explicite même pour x ∼ y car toutes les arêtes du graphe sont
susceptibles de jouer un rôle, contrairement au cas des graphes de Bethe. Du
point de vue de la connectivité, la grille est beaucoup plus complexe qu’un
arbre car la présence de cycles permet de faire des détours.