16.2 Graphe de Bethe (arbre régulier)
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0
1
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2
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3
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Fig. 16.2. Premières branches de B4 avec arêtes supprimées par Pp (en pointillé).
h p ne s’annule qu’en 0 et θ r (p) = 0. En revanche, h p s’annule exactement
une fois sur ]0, 1[ dès que p(r − 1) > 0. En conclusion, la probabilité θ r (p)
est nulle pour p (r − 1)
−1 et strictement positive pour p > (r − 1)
−1 . La
fonction p → h p (θ) est strictement décroissante et continue. Ceci assure que
la fonction θ r est continue sur [0, 1] et strictement croissante sur [p c (r), 1].
On a enfin 1 − θ = 1 − (r − 1)pθ +
1
2 (r − 1)(r − 2)p
2 θ
2 + o(θ
2 ). Puisque
θ r (p c (r)) = 0 et θ r (p) est strictement positive pour p > p c = (r − 1)
−1 , on
obtient après simplification
θ r (p) = 2
(r − 1)p − 1
(r − 1)(r − 2)p 2 + o(θ r (p)) =
2
(r − 2)p 2 (p − p c ) + o(θ r (p)).
On conclut en remarquant que (r − 2)p c = 1 − p c .
p
θr(p)
1
1
pc(3)
pc(4)
Fig. 16.3. Percolation pour Br avec r = 3 (trait plein) et r = 4 (trait en pointillé).
Remarque 16.4 (Caractère explicite des cas r 4). Pour r = 2, le graphe
de Berthe B 2 est identifiable au graphe de N et sous P p la v.a. |C(0)| suit la