16.3 Graphe euclidien (grille)
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moins un sommet de la forme (1/2 + k, 1/2) avec 0 k n. Soit x 0 le point
de cette forme le plus à droite. On numérote les éléments de γ en parcourant
la courbe dans le sens trigonométrique de sorte que γ = (x 0 , x 1 , . . . , x n−1 ). Ce
chemin est auto-évitant. Il y a au plus nκ n (2) boucles auto-évitantes de longueur n entourant Λ(m). Donc si M n est le nombre de boucles auto-évitantes
de longueur n entourant Λ(m) dont toutes les arêtes sont dans F , on a
P p (F m ) P p
⎛
⎝
n4m
M n 1
⎞
⎠
n4m
E p (M n )
n4m
nκ n (2)(1 − p)
n .
Puisque κ n (2)
1/n = κ(2) + o n (1), la série ci-dessus (membre de droite) est
convergente dès que κ(2)(1 − p) < 1 et par suite, pour m assez grand,
P p (F m ) < 1/2. Pour un tel m on a
θ 2 (p) P p (F
c
m ∩ G m ) = P p (F
c
m )P p (G m )
1
2
p
4m
2 > 0.
Ainsi, si (1 − p)κ(2) < 1 alors θ 2 (p) > 0, d’où p c (2) 1 − 1/κ(2).
0
Fig. 16.4. À gauche, le graphe euclidien E2 (trait plein) et son dual E
∗
2 (trait
pointillé). À droite, une composante finie et sa boucle ceinturante.
Dans le régime sur-critique p > p c (d), la classe C(0) de l’origine 0 peut
être infinie. Le théorème suivant complète ce résultat.
Théorème 16.12 (Existence de la classe infinie). Si p > p c (d), alors P p -p.s.
il existe au moins une classe infinie.
Démonstration. L’événement A :=«Il existe au moins une classe infinie» est
dans la tribu terminale des événements (A e ) e∈E où A e := {e ∈ F }. Or sous P p
ces événements sont indépendants, et donc P p (A) = 0 ou P p (A) = 1 par la loi
du zéro-un de Kolmogorov. À présent si p > p c (d) alors P p (|C(0)| = ∞) > 0
et {|C(0)| = ∞} ⊂ A, d’où P p (A) = 1.