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15 Renforcement
n ∈ N. Alors, à l’instant n ∈ N, l’urne contient a + b + n boules dont (a +
b + n)M n sont argentées. Conditionnellement à M n , une boule argentée est
ajoutée au temps n + 1 avec probabilité M n . Ainsi, M 0 = a/(a + b), et
M n+1 =
(a + b + n)M n + 1 Un+1Mn
a + b + n + 1
où (U n ) n1 est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur [0, 1], l’événement {U n+1 M n }
correspondant à l’ajout d’une boule argentée. La suite récurrente aléatoire
(M n ) n0 est à la fois une chaîne de Markov non homogène d’espace d’états
[0, 1] et une martingale. Codons le résultat du n
e tirage par une variable
aléatoire X n à valeurs dans {α, β} où α et β indiquent respectivement que
la boule tirée est argentée ou blanche. Notons enfin Y n et Z n les nombres
respectifs de boules argentées et blanches ajoutées après les n premiers tirages. À l’instant n, l’urne contient a + Y n + b + Z n = a + b + n boules,
dont a + Y n = a +
n
k=1 1 {X k =α} = (a + b + n)M n boules argentées et
b + Z n = b +
n
k=1 1 {X k =β} boules blanches. On a Y n + Z n = n. La suite
(X n , Y n , Z n ) n1 vérifie la récurrente aléatoire
(X n+1 , Y n+1 , Z n+1 ) =
(α, Y n + 1, Z n ) si U n+1
a+Yn
a+b+n ,
(β, Y n , Z n + 1) si U n+1 >
a+Yn
a+b+n ,
avec la convention Y 0 = 0 et Z 0 = 0 (il est inutile de définir X 0 ).
Théorème 15.1 (Martingale). La suite (M n ) n0 est une martingale à valeurs
dans [0, 1] pour la filtration (F n ) n0 définie par F n = σ(U 1 , . . . , U n ), et en
particulier la proportion moyenne de boules argentées est conservée au cours
du temps : pour tout n ∈ N,
E(M n ) = E(M 0 ) =
a
a + b
.
De plus, il existe une variable aléatoire M ∞ sur [0, 1] telle que
lim
n→∞
M n = M ∞
p.s. et dans L
p pour tout p 1. En particulier E(M ∞ ) = E(M 0 ) =
a
a+b .
Démonstration. Pour tout n ∈ N, M n est F n -mesurable, à valeurs dans [0, 1]
donc bornée donc intégrable, et
E(M n+1 | F n ) = E(M n+1 | M n ) =
(a + b + n)M n + M n
a + b + n + 1
= M n .
Ainsi (M n ) n0 est une martingale pour (F n ) n0 . Le théorème de convergence
des martingales uniformément bornées donne M n → M ∞ presque sûrement
et dans L
p où M ∞ est une variable aléatoire à valeurs dans [0, 1]
1 .
1. La martingale est uniformément intégrable. Alternativement, on peut utiliser
le théorème de convergence des martingales positives pour obtenir la convergence
presque sûre puis le théorème de convergence dominée pour la convergence dans L
p .
15 Renforcement
n ∈ N. Alors, à l’instant n ∈ N, l’urne contient a + b + n boules dont (a +
b + n)M n sont argentées. Conditionnellement à M n , une boule argentée est
ajoutée au temps n + 1 avec probabilité M n . Ainsi, M 0 = a/(a + b), et
M n+1 =
(a + b + n)M n + 1 Un+1Mn
a + b + n + 1
où (U n ) n1 est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur [0, 1], l’événement {U n+1 M n }
correspondant à l’ajout d’une boule argentée. La suite récurrente aléatoire
(M n ) n0 est à la fois une chaîne de Markov non homogène d’espace d’états
[0, 1] et une martingale. Codons le résultat du n
e tirage par une variable
aléatoire X n à valeurs dans {α, β} où α et β indiquent respectivement que
la boule tirée est argentée ou blanche. Notons enfin Y n et Z n les nombres
respectifs de boules argentées et blanches ajoutées après les n premiers tirages. À l’instant n, l’urne contient a + Y n + b + Z n = a + b + n boules,
dont a + Y n = a +
n
k=1 1 {X k =α} = (a + b + n)M n boules argentées et
b + Z n = b +
n
k=1 1 {X k =β} boules blanches. On a Y n + Z n = n. La suite
(X n , Y n , Z n ) n1 vérifie la récurrente aléatoire
(X n+1 , Y n+1 , Z n+1 ) =
(α, Y n + 1, Z n ) si U n+1
a+Yn
a+b+n ,
(β, Y n , Z n + 1) si U n+1 >
a+Yn
a+b+n ,
avec la convention Y 0 = 0 et Z 0 = 0 (il est inutile de définir X 0 ).
Théorème 15.1 (Martingale). La suite (M n ) n0 est une martingale à valeurs
dans [0, 1] pour la filtration (F n ) n0 définie par F n = σ(U 1 , . . . , U n ), et en
particulier la proportion moyenne de boules argentées est conservée au cours
du temps : pour tout n ∈ N,
E(M n ) = E(M 0 ) =
a
a + b
.
De plus, il existe une variable aléatoire M ∞ sur [0, 1] telle que
lim
n→∞
M n = M ∞
p.s. et dans L
p pour tout p 1. En particulier E(M ∞ ) = E(M 0 ) =
a
a+b .
Démonstration. Pour tout n ∈ N, M n est F n -mesurable, à valeurs dans [0, 1]
donc bornée donc intégrable, et
E(M n+1 | F n ) = E(M n+1 | M n ) =
(a + b + n)M n + M n
a + b + n + 1
= M n .
Ainsi (M n ) n0 est une martingale pour (F n ) n0 . Le théorème de convergence
des martingales uniformément bornées donne M n → M ∞ presque sûrement
et dans L
p où M ∞ est une variable aléatoire à valeurs dans [0, 1]
1 .
1. La martingale est uniformément intégrable. Alternativement, on peut utiliser
le théorème de convergence des martingales positives pour obtenir la convergence
presque sûre puis le théorème de convergence dominée pour la convergence dans L
p .