15
Renforcement
Mots-clés. Renforcement ; urne ; graphe aléatoire ; attachement préférentiel ; loi de puissance.
Outils. Chaîne de Markov ; martingale ; marche aléatoire ; échangeabilité ;
loi exponentielle.
Difficulté. **
Le phénomène du renforcement est très présent dans la nature, notamment
en génétique, en physique statistique, en sociologie, en psychologie, et en neurosciences. Ce chapitre présente trois modèles emblématiques du phénomène :
l’urne de Pólya, le graphe aléatoire à attachement préférentiel de BarabásiAlbert, et une marche aléatoire renforcée. Il se termine par un théorème de
Rubin sur les urnes de Pólya généralisées. D’autres instances se trouvent par
exemple dans les modèles de Wright-Fisher et de Moran (chapitre 12), de
Ewens (chapitre 14), dans certains modèles de croissance (chapitre 6), et dans
le modèle d’Ehrenfest (chapitre 9). Dans les modèles markoviens, le phénomène du renforcement apparaît souvent en liaison avec une propriété de monotonie partielle dans une récurrence aléatoire.
15.1 Urne de Pólya
L’urne de Pólya est un modèle simple de renforcement, qui modélise par
exemple le fait que le succès ou la richesse s’auto-amplifie au cours du temps.
Au temps n = 0, on prépare une urne contenant a > 0 boules argentées et
b > 0 boules blanches. Pour fabriquer la configuration de l’urne au temps n =
1, on tire au hasard une boule dans l’urne, puis on remet la boule tirée dans
l’urne, ainsi qu’une nouvelle boule de même couleur. On répète ce mécanisme
de manière indépendante pour fabriquer la configuration de l’urne en tout
temps n ∈ N. Notons M n ∈ [0, 1] la proportion de boules argentées à l’instant
199
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_15
Renforcement
Mots-clés. Renforcement ; urne ; graphe aléatoire ; attachement préférentiel ; loi de puissance.
Outils. Chaîne de Markov ; martingale ; marche aléatoire ; échangeabilité ;
loi exponentielle.
Difficulté. **
Le phénomène du renforcement est très présent dans la nature, notamment
en génétique, en physique statistique, en sociologie, en psychologie, et en neurosciences. Ce chapitre présente trois modèles emblématiques du phénomène :
l’urne de Pólya, le graphe aléatoire à attachement préférentiel de BarabásiAlbert, et une marche aléatoire renforcée. Il se termine par un théorème de
Rubin sur les urnes de Pólya généralisées. D’autres instances se trouvent par
exemple dans les modèles de Wright-Fisher et de Moran (chapitre 12), de
Ewens (chapitre 14), dans certains modèles de croissance (chapitre 6), et dans
le modèle d’Ehrenfest (chapitre 9). Dans les modèles markoviens, le phénomène du renforcement apparaît souvent en liaison avec une propriété de monotonie partielle dans une récurrence aléatoire.
15.1 Urne de Pólya
L’urne de Pólya est un modèle simple de renforcement, qui modélise par
exemple le fait que le succès ou la richesse s’auto-amplifie au cours du temps.
Au temps n = 0, on prépare une urne contenant a > 0 boules argentées et
b > 0 boules blanches. Pour fabriquer la configuration de l’urne au temps n =
1, on tire au hasard une boule dans l’urne, puis on remet la boule tirée dans
l’urne, ainsi qu’une nouvelle boule de même couleur. On répète ce mécanisme
de manière indépendante pour fabriquer la configuration de l’urne en tout
temps n ∈ N. Notons M n ∈ [0, 1] la proportion de boules argentées à l’instant
199
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_15