14.5 Pour aller plus loin
197
apparaît comme un taux de mutation des allèles, comme expliqué dans le chapitre 13. Une synthèse sur le sujet se trouve dans son livre [Ewe04], ainsi que
dans ceux de John Kingman [Kin80] et de Rick Durrett [Dur08], ou encore
dans le cours de Sylvie Méléard [Mé13]. De nombreux aspects statistiques sont
abordés dans le cours de Simon Tavaré [Tav04]. Le travail d’Ewens a engendré
un nombre considérable de travaux en biologie quantitative et en probabilités.
La loi d’Ewens apparaît dans une large gamme de structures aléatoires discrètes dites logarithmiques, allant de la combinatoire à la théorie des nombres.
On pourra consulter à ce sujet le livre de Richard Arratia, Andrew Barbour,
et Simon Tavaré [ABT03]. Il semble que le processus des restaurants chinois
doive son nom à Jim Pitman. Il apparaît sous ce nom dans un cours de David
Aldous [Ald85]. Fred Hoppe a montré dans [Hop84] qu’on peut le relier à un
modèle d’urne de type Pólya. On peut aussi le relier aux processus de Dirichlet et aux partitions aléatoires de [0, 1] (voir ci-dessous). De nos jours, le
processus des restaurants chinois et la loi d’Ewens font partie du folklore d’une
théorie plus générale de la (fragmentation et de la) coalescence. On pourra à
ce sujet consulter les livres de Kingman [Kin93], de Jean Bertoin [Ber06], de
Pitman [Pit06], ainsi que de Nathanaël Berestycki [Ber09].
Voici deux autres représentations remarquables de la loi d’Ewens :
1. Si Z 1 , . . . , Z n sont des variables aléatoires indépendantes de lois de
Poisson de moyennes θ/1, . . . , θ/n alors
Loi(Z 1 , . . . , Z n | Z 1 + 2Z 2 + · · · + nZ n = n) ∼ Ewens(n, θ) ;
2. Soit (P r ) r1 la loi sur N
∗ aléatoire générée à partir de la partition
aléatoire suivante de l’intervalle [0, 1] conçu comme un bâton de craie
4 :
P 1 = W 1 , P 2 = (1 − W 1 )W 2 , P 3 = (1 − W 1 )(1 − W 2 )W 3 , . . .
où (W r ) r1 sont des variables aléatoires i.i.d. de loi Beta(1, θ) de densité w → θ(1 − w)
θ−1
1 [0,1] (w). Conditionnellement à (P r ) r1 , soient
X 1 , . . . , X n des variables aléatoires i.i.d. sur N
∗ de loi (P r ) r1 . La suite
X 1 , . . . , X n fait apparaître au plus n entiers différents. Il se trouve que
leurs effectifs suit la loi Ewens(n, θ) !
Signalons enfin qu’il est possible d’établir que pour tous 0 k n,
P(|π n | = k) =
n
k
θ
k
θ(θ + 1) · · · (θ + n − 1)
et d’obtenir une formule du même genre pour la loi du couple (A n , |π n |), voir
l’article de Ewens et Tavaré dans [JKB97].
4. Cette construction est connue sous le nom de «stick breaking» en anglais.
197
apparaît comme un taux de mutation des allèles, comme expliqué dans le chapitre 13. Une synthèse sur le sujet se trouve dans son livre [Ewe04], ainsi que
dans ceux de John Kingman [Kin80] et de Rick Durrett [Dur08], ou encore
dans le cours de Sylvie Méléard [Mé13]. De nombreux aspects statistiques sont
abordés dans le cours de Simon Tavaré [Tav04]. Le travail d’Ewens a engendré
un nombre considérable de travaux en biologie quantitative et en probabilités.
La loi d’Ewens apparaît dans une large gamme de structures aléatoires discrètes dites logarithmiques, allant de la combinatoire à la théorie des nombres.
On pourra consulter à ce sujet le livre de Richard Arratia, Andrew Barbour,
et Simon Tavaré [ABT03]. Il semble que le processus des restaurants chinois
doive son nom à Jim Pitman. Il apparaît sous ce nom dans un cours de David
Aldous [Ald85]. Fred Hoppe a montré dans [Hop84] qu’on peut le relier à un
modèle d’urne de type Pólya. On peut aussi le relier aux processus de Dirichlet et aux partitions aléatoires de [0, 1] (voir ci-dessous). De nos jours, le
processus des restaurants chinois et la loi d’Ewens font partie du folklore d’une
théorie plus générale de la (fragmentation et de la) coalescence. On pourra à
ce sujet consulter les livres de Kingman [Kin93], de Jean Bertoin [Ber06], de
Pitman [Pit06], ainsi que de Nathanaël Berestycki [Ber09].
Voici deux autres représentations remarquables de la loi d’Ewens :
1. Si Z 1 , . . . , Z n sont des variables aléatoires indépendantes de lois de
Poisson de moyennes θ/1, . . . , θ/n alors
Loi(Z 1 , . . . , Z n | Z 1 + 2Z 2 + · · · + nZ n = n) ∼ Ewens(n, θ) ;
2. Soit (P r ) r1 la loi sur N
∗ aléatoire générée à partir de la partition
aléatoire suivante de l’intervalle [0, 1] conçu comme un bâton de craie
4 :
P 1 = W 1 , P 2 = (1 − W 1 )W 2 , P 3 = (1 − W 1 )(1 − W 2 )W 3 , . . .
où (W r ) r1 sont des variables aléatoires i.i.d. de loi Beta(1, θ) de densité w → θ(1 − w)
θ−1
1 [0,1] (w). Conditionnellement à (P r ) r1 , soient
X 1 , . . . , X n des variables aléatoires i.i.d. sur N
∗ de loi (P r ) r1 . La suite
X 1 , . . . , X n fait apparaître au plus n entiers différents. Il se trouve que
leurs effectifs suit la loi Ewens(n, θ) !
Signalons enfin qu’il est possible d’établir que pour tous 0 k n,
P(|π n | = k) =
n
k
θ
k
θ(θ + 1) · · · (θ + n − 1)
et d’obtenir une formule du même genre pour la loi du couple (A n , |π n |), voir
l’article de Ewens et Tavaré dans [JKB97].
4. Cette construction est connue sous le nom de «stick breaking» en anglais.