1.3 Distance en variation totale
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3. lim n→∞ d VT (μ n , μ) = 0.
Lorsqu’elles ont lieu on dit que (X n ) converge en loi vers μ quand n → ∞.
Toute fonction E → R est continue pour la topologie discrète sur E.
Démonstration. Pour déduire 1. de 3. il suffit d’utiliser l’expression variationnelle fonctionnelle de d VT (·, ·). Pour déduire 2. de 1. on peut prendre
f = 1 {x} . Pour déduire 3. de 2. on observe que pour tout A ⊂ E,
x∈E
|μ n (x) − μ(x)| =
x∈A
|μ n (x) − μ(x)| +
x∈A c
|μ n (x) − μ(x)|.
Grâce à 2., si A est fini, alors pour tout ε > 0, il existe un entier N = N (A, ε)
tel que le premier terme du membre de droite est majoré par ε pour tout
n N . Le second terme du membre de droite peut se contrôler comme suit :
x∈A c
|μ n (x) − μ(x)|
x∈A c
μ n (x) +
x∈A c
μ(x).
Puisqu’on a
x∈A c
μ n (x) =
x∈A
μ(x) −
x∈A
μ n (x) +
x∈A c
μ(x),
on obtient
x∈A c
|μ n (x) − μ(x)|
x∈A
|μ n (x) − μ(x)| + 2
x∈A c
μ(x).
Puisque μ ∈ P, pour tout ε
> 0, on peut choisir A fini tel que μ(A
c ) ε
.
Ainsi, on obtient
lim
n→∞
x∈E
|μ n (x) − μ(x)| = 0,
qui n’est rien d’autre que 3. d’après le théorème 1.5.
Remarque 1.7 (Dispersion à l’infini). Si (μ n ) n1 sont des lois sur E et
μ(x) := lim n→∞ μ n (x) alors μ n’est pas forcément une loi, sauf si E est fini.
En effet, lorsque E est infini, il peut se produire un phénomène de dispersion
de masse à l’infini. Un contre-exemple est fourni par E = N et μ n qui affecte
la masse 1/n aux singletons {1}, . . . , {n}, ce qui donne μ identiquement nulle.
Théorème 1.8 (Minimum). Si μ et ν sont des lois sur E alors
d VT (μ, ν) = 1 −
x∈E
(μ(x) ∧ ν(x)).
En particulier, d VT (μ, ν) = 1 ssi μ et ν ont des supports disjoints.