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1 Pile, face, coupons
Démonstration. Rappelons que a ∧ b = min(a, b). Il suffit d’écrire
x∈E
(μ(x) ∧ ν(x)) =
1
2
x∈E
(μ(x) + ν(x) − |μ(x) − ν(x)|) = 1 − d VT (μ, ν).
Théorème 1.9 (Couplage). Si μ et ν sont des lois sur E alors
d VT (μ, ν) = inf
(X,Y )
P(X = Y )
où l’infimum porte sur les couples de variables aléatoires sur E × E de lois
marginales μ et ν. De plus, il existe un couple de ce type pour lequel l’égalité
est atteinte c’est-à-dire que l’infimum est un minimum.
Le théorème 1.9 est souvent utilisé de la manière suivante : on construit
explicitement grâce au contexte un couple (X, Y ) de variables aléatoires tel
que X ∼ μ et Y ∼ ν, et on en déduit que d VT (μ, ν) P(X = Y ).
Démonstration. Soit (X, Y ) un couple de v.a. sur E × E de lois marginales μ
et ν. Comme P(X = x, Y = x) μ(x) ∧ ν(x) pour tout x ∈ E,
1 − d VT (μ, ν) =
x∈E
(μ(x) ∧ ν(x))
x∈E
P(X = x, Y = x) = P(X = Y ).
Il suffit donc de construire un couple (X, Y ) pour lequel l’égalité est atteinte.
Posons p = 1 − d VT (μ, ν) ∈ [0, 1] et distinguons trois cas.
— Cas où p = 0. On prend (X, Y ) avec X et Y indépendantes de lois
respectives μ et ν. Puisque d VT (μ, ν) = 1, μ et ν ont des supports
disjoints, d’où P(X = Y ) =
x∈E μ(x)ν(x) = 0 ;
— Cas où p = 1. Alors d VT (μ, ν) = 0, d’où μ = ν. On prend (X, Y ) où
X ∼ μ et Y = X ;
— Cas où 0 < p < 1. Soit U, V, W des variables aléatoires de lois
p
−1 (μ ∧ ν), (1 − p)
−1 (μ − (μ ∧ ν)), (1 − p)
−1 (ν − (μ ∧ ν)).
Notons que p =
x∈E (μ(x) ∧ ν(x)) (théorème 1.8). Soit B une v.a.
de loi de Bernoulli Ber(p) indépendante du triplet (U, V, W ). Posons
(X, Y ) = (U, U ) si B = 1 et (X, Y ) = (V, W ) si B = 0. On a alors
X ∼ μ et Y ∼ ν, et puisque les lois de V et W ont des supports
disjoints, on a P(V = W ) = 0, et donc P(X = Y ) = P(B = 1) = p.
1.4 Approximation binomiale-Poisson
Si S n suit la loi binomiale Bin(n, p) alors pour tout k ∈ N, on a,