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1 Pile, face, coupons
Notons que d VT (μ, ν) = μ − ν VT où η VT := sup A⊂E |η(A)| pour toute
mesure signée η de masse finie sur E. On a 0 d VT (μ, ν) 1 car le diamètre
de [0, 1] est 1. De plus d VT (μ, ν) = 1 si μ et ν ont des supports disjoints.
Théorème 1.5 (Autres expressions). Si μ et ν sont des lois sur E alors
1
d VT (μ, ν) =
1
2
sup
f :E→[−1,1]
f dμ −
f dν
=
1
2
x∈E
|μ(x) − ν(x)|.
De plus, le supremum dans la définition de d VT (·, ·) est atteint pour l’ensemble
A ∗ = {x ∈ E : μ(x) ν(x)},
et il est atteint dans l’expression variationnelle fonctionnelle de d VT (·, ·) pour
f = 1 A∗ − 1 A c ∗ .
Démonstration. La seconde égalité provient de l’inégalité
f dμ −
f dν
x∈E
|f (x)||μ(x) − ν(x)| sup
x∈E
|f (x)|
x∈E
|μ(x) − ν(x)|
qui est saturée pour f = 1 A∗ − 1 A c ∗ . Pour la première égalité, on écrit
|μ(A) − ν(A)| =
1
2
f A dμ −
f A dν
où f = 1 A − 1 A c , ce qui donne
|μ(A) − ν(A)|
1
2
sup
f :E→[−1,1]
f dμ −
f dν
=
1
2
x∈E
|μ(x) − ν(x)|
qui est saturée pour A = A ∗ car, par définition de A ∗ ,
2|μ(A ∗ ) − ν(A ∗ )| = μ(A ∗ ) − ν(A ∗ ) + ν(A
c
∗ ) − μ(A
c
∗ )
=
x∈A∗
|μ(x) − ν(x)| +
x∈A c
∗
|μ(x) − ν(x)|.
Théorème 1.6 (Convergence en loi). Si (X n ) n1 sont des variables aléatoires
sur E et si μ n désigne la loi de X n , alors pour toute loi μ sur E, les propriétés
suivantes sont équivalentes :
1. lim n→∞
f dμ n =
f dμ pour toute fonction bornée f : E → R ;
2. lim n→∞ μ n (x) = μ(x) pour tout x ∈ E ;
1. En particulier on a 2·· VT = ·· 1 (E,R) .