1.3 Distance en variation totale
5
Lois binomiales
Bin(42,0.1)
Bin(42,0.5)
Bin(42,0.9)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
P(X=n)
0
1 0
2 0
3 0
4 0
n
Fig. 1.1. Lois binomiales de même taille, pour trois valeurs du second paramètre,
illustrant la pertinence de l’approximation de la loi binomiale par une loi gaussienne
et par une loi de Poisson selon les cas.
qui redonne le TLC par intégration :
lim
n→∞
P
S n − np
np(1 − p)
∈ [a, b]
=
1
√
2π
b
a
e
−
x 2
2 dx.
1.3 Distance en variation totale
Dans toute cette section, E est un ensemble au plus dénombrable muni de
la topologie et de la tribu discrètes P(E). L’ensemble des lois sur E est un
espace métrique complet pour la distance en variation totale
d VT (μ, ν) := sup
A⊂E
|μ(A) − ν(A)|.
5
Lois binomiales
Bin(42,0.1)
Bin(42,0.5)
Bin(42,0.9)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
P(X=n)
0
1 0
2 0
3 0
4 0
n
Fig. 1.1. Lois binomiales de même taille, pour trois valeurs du second paramètre,
illustrant la pertinence de l’approximation de la loi binomiale par une loi gaussienne
et par une loi de Poisson selon les cas.
qui redonne le TLC par intégration :
lim
n→∞
P
S n − np
np(1 − p)
∈ [a, b]
=
1
√
2π
b
a
e
−
x 2
2 dx.
1.3 Distance en variation totale
Dans toute cette section, E est un ensemble au plus dénombrable muni de
la topologie et de la tribu discrètes P(E). L’ensemble des lois sur E est un
espace métrique complet pour la distance en variation totale
d VT (μ, ν) := sup
A⊂E
|μ(A) − ν(A)|.