4
1 Pile, face, coupons
X 1 X 2
Y1
X 3 X 4
Y2
· · ·
en posant Y n = 0 si (X 2n−1 , X 2n ) = (0, 1), Y n = 1 si (X 2n−1 , X 2n ) = (1, 0), et
Y n = 2 sinon. La suite (Z n ) n1 obtenue à partir de (Y n ) n1 en effaçant les 2
est constituée de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre
1/2. La production de chaque terme de la suite (Z n ) n1 nécessite un nombre
aléatoire géométrique de termes de la suite (X n ) n1 .
1.2 Approximation binomiale-gaussienne
Soit (X n ) n1 des v.a.r. i.i.d. de moyenne m et variance 0 < σ
2 < ∞, et
S n = X 1 + · · · + X n . Le théorème limite central indique que pour tout t ∈ R,
lim
n→∞
P
S n − nm
√ nσ
t
=
t
−∞
1
√
2π
e
−
x 2
2 dx.
Le théorème limite central de Berry-Esseen raffine ce résultat asymptotique en
fournissant une borne quantitative uniforme : si X 1 , X 2 , . . . sont de Bernoulli
de paramètre p ∈ ]0, 1[, on a m := E(X 1 ) = p, σ
2 := E((X − m)
2 ) = p(1 − p),
τ
3 := E(|X 1 − m|
3 ) = p(1 − p)(1 − 2p(1 − p)), et
sup
t∈R
P
S n
np(1 − p)t + np
−
t
−∞
e
−
x 2
2
√
2π
dx
τ
3
√ nσ 3 =
1 − 2p(1 − p)
p(1 − p)
√ n
.
Cette approximation de la loi binomiale par la loi gaussienne est d’autant
meilleure que (1 − 2p(1 − p))/
np(1 − p) est petit. À n fixé, cette borne est
minimale pour p = 1/2 mais explose quand p se rapproche de 0 ou de 1. Pour
ces régimes extrêmes, il est plus approprié d’utiliser une approximation par
la loi de Poisson, abordée dans la section 1.4.
Lorsque X 1 , X 2 , . . . sont des variables de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0, 1[,
le TLC suggère d’approcher la loi binomiale Bin(n, p) de S n par la loi gaussienne N (nm, nσ
2 ) lorsque n est grand. Le théorème limite central de de
Moivre et Laplace précise que pour tous −∞ < a < b < +∞,
lim
n→∞
√
n sup
k∈In(a,b)
P(S n = k) −
exp
−
(k−np)
2
2np(1−p)
2πnp(1 − p)
= 0
où
I n (a, b) =
0 k n :
k − np
np(1 − p)
∈ [a, b]
,