1.1 Jeu de pile ou face
3
comptage de tops espacés par des durées indépendantes de même loi géométrique, analogue discret du processus de Poisson. Comme S n est une somme
de variables indépendantes, (S n ) n0 est une chaîne de Markov sur N de noyau
P(x, y) = p1 y=x+1 + (1 − p)1 y=x , et (S n − np) n0 est une martingale.
Par la loi des grands nombres (LGN) et le théorème limite central (TLC)
S n
n
p.s.
−→
n→∞
p et
√ n
p(1 − p)
S n
n
− p
loi
−→
n→∞
N (0, 1).
Cela permet notamment de construire un intervalle de confiance asymptotique
pour p appelé intervalle de Wald, qui est cependant peu précis.
Remarque 1.1 (Intervalle de Clopper-Pearson). Il est également possible de
confectionner des intervalles de confiance pour p non asymptotiques, comme
celui de Clopper-Pearson par exemple, basé sur la correspondance Betabinomiale. Soit U 1 , . . . , U n des v.a.r. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1]. Notons U (1,n) · · · U (n,n) leur réordonnement croissant. Alors pour tout
k = 1, . . . , n la v.a.r. U (k,n) suit la loi Beta(k, n − k + 1) sur [0, 1] de densité
t ∈ [0, 1] →
t
k−1 (1 − t)
n−k
Beta(k, n − k + 1)
, où Beta(a, b) :=
1
0
s
a−1 (1 − s)
b−1 ds,
et
P(S n k) = P(1 {U1p} + · · · + 1 {Unp} k) = P(U (k,n) p).
On déduit de cette identité une expression exacte de la probabilité que S n
appartienne à un intervalle donné. Notons que comme S n est discrète, ses
quantiles sont aussi discrets, ce qui empêche de fabriquer un intervalle exact
de niveau α ∈ [0, 1] arbitraire, et suggère de procéder à un lissage.
Remarque 1.2 (Motifs répétés et lois du zéro-un). Lorsque 0 < p < 1, le
lemme de Borel-Cantelli (cas indépendant) entraîne que toute suite finie de 0
et de 1 apparaît presque sûrement une infinité de fois dans la suite X 1 , X 2 , . . .
L’indépendance est capitale. Un singe éternel tapant sur un clavier finira toujours par écrire les œuvres complètes de William Shakespeare ! Alternativement, on peut déduire ce résultat de la nature géométrique du temps d’apparition du premier succès dans un jeu de pile ou face obtenu en découpant le jeu
de pile ou face en blocs successifs de même longueur que la chaîne recherchée.
Remarque 1.3 (Jeu de pile ou face et loi uniforme sur [0, 1]). Si U est une
variable aléatoire sur [0, 1] et si U =
∞
n=1 b n 2
−n est son écriture en base 2,
alors U suit la loi uniforme sur [0, 1] si et seulement si les bits (b n ) n1 de son
écriture en base 2 sont des v.a.r. i.i.d. de Bernoulli de paramètre 1/2.
Remarque 1.4 (Algorithme de débiaisage de von Neumann). Soit (X n ) n1
une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de paramètre
0 < p < 1 inconnu. On fabrique la suite (Y n ) n1 de variables aléatoires indépendantes et de même loi sur {0, 1, 2} comme suit
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comptage de tops espacés par des durées indépendantes de même loi géométrique, analogue discret du processus de Poisson. Comme S n est une somme
de variables indépendantes, (S n ) n0 est une chaîne de Markov sur N de noyau
P(x, y) = p1 y=x+1 + (1 − p)1 y=x , et (S n − np) n0 est une martingale.
Par la loi des grands nombres (LGN) et le théorème limite central (TLC)
S n
n
p.s.
−→
n→∞
p et
√ n
p(1 − p)
S n
n
− p
loi
−→
n→∞
N (0, 1).
Cela permet notamment de construire un intervalle de confiance asymptotique
pour p appelé intervalle de Wald, qui est cependant peu précis.
Remarque 1.1 (Intervalle de Clopper-Pearson). Il est également possible de
confectionner des intervalles de confiance pour p non asymptotiques, comme
celui de Clopper-Pearson par exemple, basé sur la correspondance Betabinomiale. Soit U 1 , . . . , U n des v.a.r. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1]. Notons U (1,n) · · · U (n,n) leur réordonnement croissant. Alors pour tout
k = 1, . . . , n la v.a.r. U (k,n) suit la loi Beta(k, n − k + 1) sur [0, 1] de densité
t ∈ [0, 1] →
t
k−1 (1 − t)
n−k
Beta(k, n − k + 1)
, où Beta(a, b) :=
1
0
s
a−1 (1 − s)
b−1 ds,
et
P(S n k) = P(1 {U1p} + · · · + 1 {Unp} k) = P(U (k,n) p).
On déduit de cette identité une expression exacte de la probabilité que S n
appartienne à un intervalle donné. Notons que comme S n est discrète, ses
quantiles sont aussi discrets, ce qui empêche de fabriquer un intervalle exact
de niveau α ∈ [0, 1] arbitraire, et suggère de procéder à un lissage.
Remarque 1.2 (Motifs répétés et lois du zéro-un). Lorsque 0 < p < 1, le
lemme de Borel-Cantelli (cas indépendant) entraîne que toute suite finie de 0
et de 1 apparaît presque sûrement une infinité de fois dans la suite X 1 , X 2 , . . .
L’indépendance est capitale. Un singe éternel tapant sur un clavier finira toujours par écrire les œuvres complètes de William Shakespeare ! Alternativement, on peut déduire ce résultat de la nature géométrique du temps d’apparition du premier succès dans un jeu de pile ou face obtenu en découpant le jeu
de pile ou face en blocs successifs de même longueur que la chaîne recherchée.
Remarque 1.3 (Jeu de pile ou face et loi uniforme sur [0, 1]). Si U est une
variable aléatoire sur [0, 1] et si U =
∞
n=1 b n 2
−n est son écriture en base 2,
alors U suit la loi uniforme sur [0, 1] si et seulement si les bits (b n ) n1 de son
écriture en base 2 sont des v.a.r. i.i.d. de Bernoulli de paramètre 1/2.
Remarque 1.4 (Algorithme de débiaisage de von Neumann). Soit (X n ) n1
une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de paramètre
0 < p < 1 inconnu. On fabrique la suite (Y n ) n1 de variables aléatoires indépendantes et de même loi sur {0, 1, 2} comme suit