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1 Pile, face, coupons
La moyenne et la variance de S n sont donnés par
E(S n ) = np et Var(S n ) = np(1 − p).
Le temps T du premier succès, qui est aussi le nombre de lancers pour obtenir
un premier succès, est donné par
T := inf{n 1 : X n = 1}
Si p > 0, T suit la loi géométrique Geo(p) sur N
∗ de paramètre p donnée par
P(T = k) = (1 − p)
k−1 p, k ∈ N
∗ .
On a T ≡ ∞ si p = 0 et P(T < ∞) = 1 sinon. De plus
E(T ) =
1
p
et Var(T ) =
1 − p
p 2 .
Le nombre d’échecs avant le premier succès
T
:= inf{n 0 : X n+1 = 1} = T − 1
suit la loi géométrique Geo N (p) sur N et de paramètre p donnée par
P(T
= k) = P(T − 1 = k) = (1 − p)
k p, k ∈ N,
et on a
E(T
) = E(T ) − 1 =
1 − p
p
et Var(T
) = Var(T ) =
1 − p
p 2 .
Pour tout r ∈ N
∗ , le nombre de lancers T r nécessaires pour obtenir r succès
est défini par récurrence par
T 1 := T et T r+1 := inf{n > T r : X n = 1}.
Les variables aléatoires T 1 , T 2 − T 1 , T 3 − T 2 , . . . sont indépendantes et identiquement distribuées de loi géométrique Geo(p). La variable aléatoire T r suit
la loi de Pascal ou loi binomiale-négative Geo(p)
∗r . On a pour tout k r,
P(T r = k) =
k11,...,kr1
k1+···+kr=k
(1 − p)
k1−1 p · · · (1 − p)
kr−1 p = (1 − p)
k−r p
r
k − 1
r − 1
et
E(T r ) = rE(T ) =
r
p
et Var(T r ) = rVar(T ) = r
1 − p
p 2 .
Le processus de Bernoulli (S n ) n0 a des trajectoires constantes par morceaux, avec des sauts d’amplitude +1, et les temps de saut sont donnés par
(T r ) r1 (temps inter-sauts i.i.d. géométriques). Il constitue le processus de