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Pile, face, coupons
Mots-clés. Combinatoire ; loi discrète ; distance en variation totale ; loi
des petits nombres ; convergence abrupte ; loi de Gumbel.
Outils. Loi des grands nombres ; théorème limite central ; inégalité de
Markov.
Difficulté. *
Ce chapitre est consacré au jeu de pile ou face et au problème du collectionneur de coupons, deux objets probabilistes importants qu’il est bon de
connaître et savoir reconnaître. Ce chapitre contient également une étude de
la distance en variation totale pour les mesures de probabilité discrètes.
1.1 Jeu de pile ou face
Le jeu de pile ou face consiste en des lancers successifs d’une pièce de
monnaie qui donnent à chaque fois soit pile (succès, codé 1) soit face (échec,
codé 0). On modélise cela par une suite (X n ) n1 de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi de Bernoulli Ber(p) :
P(X n = 1) = 1 − P(X n = 0) = p ∈ [0, 1].
Le nombre de succès dans les n premiers lancers
S n = X 1 + · · · + X n
est une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1, . . . , n} qui suit la loi binomiale
Bin(n, p) de taille n et de paramètre p, donnée pour tout k = 0, 1, . . . , n par
P(S n = k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k =
n!
k!(n − k)!
p
k (1 − p)
n−k .
1
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_1
Pile, face, coupons
Mots-clés. Combinatoire ; loi discrète ; distance en variation totale ; loi
des petits nombres ; convergence abrupte ; loi de Gumbel.
Outils. Loi des grands nombres ; théorème limite central ; inégalité de
Markov.
Difficulté. *
Ce chapitre est consacré au jeu de pile ou face et au problème du collectionneur de coupons, deux objets probabilistes importants qu’il est bon de
connaître et savoir reconnaître. Ce chapitre contient également une étude de
la distance en variation totale pour les mesures de probabilité discrètes.
1.1 Jeu de pile ou face
Le jeu de pile ou face consiste en des lancers successifs d’une pièce de
monnaie qui donnent à chaque fois soit pile (succès, codé 1) soit face (échec,
codé 0). On modélise cela par une suite (X n ) n1 de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi de Bernoulli Ber(p) :
P(X n = 1) = 1 − P(X n = 0) = p ∈ [0, 1].
Le nombre de succès dans les n premiers lancers
S n = X 1 + · · · + X n
est une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1, . . . , n} qui suit la loi binomiale
Bin(n, p) de taille n et de paramètre p, donnée pour tout k = 0, 1, . . . , n par
P(S n = k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k =
n!
k!(n − k)!
p
k (1 − p)
n−k .
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_1