Table des matières
XIII
24 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
24.1 Interprétation probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
24.2 Cas de la boule unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
24.3 Approches numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
24.4 Demi-plan supérieur : du discret au continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
24.5 Récurrence, transience, et fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . 321
24.6 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
25.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
25.2 Décomposition spectrale et inégalité de Poincaré . . . . . . . . . . . . 331
25.3 Entropie, couplage, et temps long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
25.4 Inégalité de Sobolev logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
25.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
26 Modèles de diffusion cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
26.1 Modèle de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
26.2 Processus de Langevin confiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
26.3 Comportement en temps long du processus confiné . . . . . . . . . . 348
26.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion . . . . . . . . . 357
27.1 Paresse et échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
27.2 Convergence d’une chaîne vers une diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 359
27.3 Diffusion sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
27.4 Application aux processus de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
27.5 Fonction de répartition empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
27.6 Schéma d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
27.7 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Suggestions bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Principales notations et abréviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
XIII
24 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
24.1 Interprétation probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
24.2 Cas de la boule unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
24.3 Approches numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
24.4 Demi-plan supérieur : du discret au continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
24.5 Récurrence, transience, et fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . 321
24.6 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
25.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
25.2 Décomposition spectrale et inégalité de Poincaré . . . . . . . . . . . . 331
25.3 Entropie, couplage, et temps long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
25.4 Inégalité de Sobolev logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
25.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
26 Modèles de diffusion cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
26.1 Modèle de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
26.2 Processus de Langevin confiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
26.3 Comportement en temps long du processus confiné . . . . . . . . . . 348
26.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion . . . . . . . . . 357
27.1 Paresse et échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
27.2 Convergence d’une chaîne vers une diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 359
27.3 Diffusion sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
27.4 Application aux processus de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
27.5 Fonction de répartition empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
27.6 Schéma d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
27.7 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Suggestions bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Principales notations et abréviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397