XII
Table des matières
17 Croissance et fragmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.1 Processus TCP window-size en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.2 Intensité des sauts variable selon la position . . . . . . . . . . . . . . . . 236
17.3 Branchement et croissance-fragmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
17.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
18 Ruine d’une compagnie d’assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
18.1 Processus de Poisson composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
18.2 La ruine est-elle presque sûre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
18.3 Expression de la probabilité de ruine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
18.4 Sinistres exponentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
18.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
19 Polymères dirigés en environnement aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 251
19.1 Modèle et résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
19.2 Fonction de partition normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
19.3 Borne inférieure en grandes dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
19.4 Énergie libre moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
19.5 Borne supérieure sur le paramètre critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
19.6 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
20 Problème du voyageur de commerce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
20.1 Concentration pour le cas uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
20.2 Évaluation de la moyenne du cas uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
20.3 Démonstration du cas uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
20.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
21 Matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
21.1 Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
21.2 Réduction à un cas plus simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
21.3 Convergence des moments et convergence étroite . . . . . . . . . . . . 285
21.4 Preuve du théorème de Wigner simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
21.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
22 Naissances et assassinats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
22.1 Condition suffisante de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
22.2 Condition suffisante d’instabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
22.3 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
23 Modèle du télégraphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
23.1 Aspects markoviens du processus complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
23.2 Lien entre équation et processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
23.3 Modification ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
23.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Table des matières
17 Croissance et fragmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.1 Processus TCP window-size en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.2 Intensité des sauts variable selon la position . . . . . . . . . . . . . . . . 236
17.3 Branchement et croissance-fragmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
17.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
18 Ruine d’une compagnie d’assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
18.1 Processus de Poisson composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
18.2 La ruine est-elle presque sûre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
18.3 Expression de la probabilité de ruine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
18.4 Sinistres exponentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
18.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
19 Polymères dirigés en environnement aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 251
19.1 Modèle et résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
19.2 Fonction de partition normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
19.3 Borne inférieure en grandes dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
19.4 Énergie libre moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
19.5 Borne supérieure sur le paramètre critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
19.6 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
20 Problème du voyageur de commerce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
20.1 Concentration pour le cas uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
20.2 Évaluation de la moyenne du cas uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
20.3 Démonstration du cas uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
20.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
21 Matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
21.1 Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
21.2 Réduction à un cas plus simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
21.3 Convergence des moments et convergence étroite . . . . . . . . . . . . 285
21.4 Preuve du théorème de Wigner simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
21.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
22 Naissances et assassinats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
22.1 Condition suffisante de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
22.2 Condition suffisante d’instabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
22.3 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
23 Modèle du télégraphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
23.1 Aspects markoviens du processus complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
23.2 Lien entre équation et processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
23.3 Modification ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
23.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311