Table des matières
XI
11 File d’attente M/M/Infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.1 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.2 Temps de demi-vie des clients initiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.3 Loi du nombre de clients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.4 Comportement en temps long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
11.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12 Modèle de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.1 Loi de Hardy-Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.2 Modèle de Moran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.3 Modèle de Wright-Fisher et fixation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.4 Modèle de Wright-Fisher avec mutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.5 Modèle de Wright-Fisher avec sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
12.6 Modèle de Cannings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.7 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
13 Généalogies et coalescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
13.1 Modèle généalogique à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
13.2 Longueur de l’arbre généalogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
13.3 Mutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
13.4 Coalescent de Kingman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
14 Restaurants chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
14.1 Lois d’Ewens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
14.2 Nombre de tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
14.3 Tables extrêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
14.4 Compléments de combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
14.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
15 Renforcement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
15.1 Urne de Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
15.2 Graphe de Barabási-Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
15.3 Marche aléatoire renforcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
15.4 Théorème de Rubin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
15.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
16 Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
16.1 Percolation dans un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
16.2 Graphe de Bethe (arbre régulier) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
16.3 Graphe euclidien (grille) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
16.4 Graphe complet et modèle de Erdős-Rényi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
16.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226