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Table des matières
5 Mesures de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1 Mesures de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Algorithme de Metropolis-Hastings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Algorithme du recuit simulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Algorithme de Propp-Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5 Modélisation d’un composé chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Agrégation limitée par diffusion interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1 Modèle d’agrégation par diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Modèle unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3 Convergence presque sûre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 Une inégalité de concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.6 Dimensions supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.7 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Chaînes de Markov cachées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1 Algorithme progressif-rétrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Filtre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8 Algorithme EM et mélanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.1 Modèle pour les nids de mouettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Situation favorable mais irréaliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3 Résolution du vrai problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.4 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9 Urnes d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.1 Modèle microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 Urne d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.3 Pression au fil du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.4 Fluctuations autour de la moyenne à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . 124
9.5 Quand reverra-t-on le vide ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.6 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10 Records, extrêmes, et recrutements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.1 Élitisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.2 Au-dessus de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.3 Cas de la loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.4 Cas de la loi de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.5 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137