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14 Restaurants chinois
Démonstration. Soient (ξ n ) n1 comme dans la preuve du théorème 14.9. Alors
|π n |
log(n)
횾
n2
loi
=
1
log(n)
n
k=1
ξ k
n2
.
Notons que ξ 1 = 1 p.s. et donc ξ 1 − E(ξ 1 ) = 0. Pour tout n 2, on a
1
log(n)
n
k=1
ξ k =
1
log(n)
n
k=2
(ξ k − E(ξ k )) +
1
log(n)
n
k=1
E(ξ k ).
Le second terme du membre de droite converge vers θ quand n → ∞ grâce
au théorème 14.9. Il suffit donc d’établir que le premier terme du membre de
droite converge presque sûrement vers 0. Or si
S n :=
n
k=2
Y k avec Y k :=
ξ k − E(ξ k )
log(k)
alors (S n ) n2 est une martingale bornée dans L
2 car (théorème 14.9)
E(S
2
n ) =
n
k=2
Var(ξ k )
(log(k)) 2
∞
k=2
θ
(θ + k − 1)(log(k)) 2 < ∞.
Il est utile de rappeler à ce stade que la série de Bertrand
∞
k=2
1
k(log(k)) β
converge ssi β > 1. Étant bornée dans L
2 , la martingale (S n ) n2 converge p.s.
(et dans L
2 ) vers une variable aléatoire dans L
2 (donc finie p.s.). Le lemme
de Kronecker
2 assure alors la convergence p.s. vers 0 quand n → ∞ de
1
log(n)
n
k=2
log(k)Y k =
1
log(n)
n
k=2
(ξ k − E(ξ k )).
Notons qu’alternativement au théorème sur les martingales, on pourrait utiliser le théorème des séries centrées (théorème 10.3).
Théorème 14.13 (Asymptotique en loi du nombre de tables). On a
|π n | − E(|π n |)
Var(|π n |)
loi
−→
n→∞
N (0, 1).
De plus E(|π n |) et Var(|π n |) peuvent être remplacés par θ log(n).
2. Si
n
xn converge alors limn→∞ b
−1
n
n
k=1
b k x k = 0 lorsque 0 < bn ∞.