14.2 Nombre de tables
191
existante. En particulier, ξ 1 = 1 p.s. Cela donne pour E(|π n |) et Var(|π n |) les
formules en sommes. À ce stade, on rappelle la comparaison série-intégrale
suivante : si f : R + → R + est une fonction continue et décroissante alors
n+1
0
f (t) dt
n
k=0
f (k) f (0) +
n
0
f (t) dt.
Donc E(|π n |) et Var(|π n |) valent θ log(n) + O n→∞ (1) ∼ n→∞ θ log(n) .
Remarque 14.10 (Un jeu de pile ou face inhomogène). Par construction,
(|π n |) n1 est p.s. croissante et ne fait que des sauts de +1. Elle constitue le
processus de comptage partant de 1 de tops espacés par des durées aléatoires
indépendantes. Cependant, ces durées ne sont pas de même loi, et ne sont pas
de loi géométrique. Il s’agit plutôt d’un jeu de pile ou face où la probabilité
de gagner change à chaque lancer. Bien que (π n ) n1 soit croissante, elle est
cependant de moins en moins croissante en quelque sorte puisque la quantité
p n = P(|π n+1 | = |π n | + 1) = P(ξ n+1 = 1) = θ(θ + n)
−1
décroît quand n croît. Malgré tout, la moyenne et la variance de |π n | sont
équivalentes à θ log(n) lorsque n tend vers ∞. La situation diffère du cas du
collectionneur de coupons du chapitre 1, pour lequel la probabilité de gagner
change après chaque succès.
Théorème 14.11 (Asymptotique du nombre de tables). On a
|π n |
log(n)
L
2
−→
n→∞
θ et en particulier
|π n |
log(n)
P
−→
n→∞
θ.
Démonstration. Grâce au théorème 14.9, quand n → ∞,
E
|π n |
log(n)
− θ
2
=
Var(|π n |) + (E(|π n |) − θ log(n))
2
(log(n)) 2
= O
1
log(n)
= o(1).
La convergence en probabilité s’obtient grâce à l’inégalité de Markov.
Le résultat suivant affirme que la convergence a lieu presque sûrement.
La borne O(1/ log(n)) obtenue par la méthode du second moment ci-dessus
n’est pas sommable, ce qui ne permet pas d’obtenir la convergence presque
sûre par application du lemme de Borel-Cantelli. Cela suggère cependant de
considérer un moment d’ordre plus élevé. Alternativement, on peut chercher
à se ramener à un résultat sur les martingales.
Théorème 14.12 (Asymptotique du nombre de tables). On a
|π n |
log(n)
p.s.
−→
n→∞
θ.
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existante. En particulier, ξ 1 = 1 p.s. Cela donne pour E(|π n |) et Var(|π n |) les
formules en sommes. À ce stade, on rappelle la comparaison série-intégrale
suivante : si f : R + → R + est une fonction continue et décroissante alors
n+1
0
f (t) dt
n
k=0
f (k) f (0) +
n
0
f (t) dt.
Donc E(|π n |) et Var(|π n |) valent θ log(n) + O n→∞ (1) ∼ n→∞ θ log(n) .
Remarque 14.10 (Un jeu de pile ou face inhomogène). Par construction,
(|π n |) n1 est p.s. croissante et ne fait que des sauts de +1. Elle constitue le
processus de comptage partant de 1 de tops espacés par des durées aléatoires
indépendantes. Cependant, ces durées ne sont pas de même loi, et ne sont pas
de loi géométrique. Il s’agit plutôt d’un jeu de pile ou face où la probabilité
de gagner change à chaque lancer. Bien que (π n ) n1 soit croissante, elle est
cependant de moins en moins croissante en quelque sorte puisque la quantité
p n = P(|π n+1 | = |π n | + 1) = P(ξ n+1 = 1) = θ(θ + n)
−1
décroît quand n croît. Malgré tout, la moyenne et la variance de |π n | sont
équivalentes à θ log(n) lorsque n tend vers ∞. La situation diffère du cas du
collectionneur de coupons du chapitre 1, pour lequel la probabilité de gagner
change après chaque succès.
Théorème 14.11 (Asymptotique du nombre de tables). On a
|π n |
log(n)
L
2
−→
n→∞
θ et en particulier
|π n |
log(n)
P
−→
n→∞
θ.
Démonstration. Grâce au théorème 14.9, quand n → ∞,
E
|π n |
log(n)
− θ
2
=
Var(|π n |) + (E(|π n |) − θ log(n))
2
(log(n)) 2
= O
1
log(n)
= o(1).
La convergence en probabilité s’obtient grâce à l’inégalité de Markov.
Le résultat suivant affirme que la convergence a lieu presque sûrement.
La borne O(1/ log(n)) obtenue par la méthode du second moment ci-dessus
n’est pas sommable, ce qui ne permet pas d’obtenir la convergence presque
sûre par application du lemme de Borel-Cantelli. Cela suggère cependant de
considérer un moment d’ordre plus élevé. Alternativement, on peut chercher
à se ramener à un résultat sur les martingales.
Théorème 14.12 (Asymptotique du nombre de tables). On a
|π n |
log(n)
p.s.
−→
n→∞
θ.