14.3 Tables extrêmes
193
Démonstration. Tout d’abord, on note que E(|π n |) et Var(|π n |) peuvent être
remplacés par θ log(n) en utilisant le lemme de Slutsky et le théorème 14.9.
Le résultat découle du théorème de Berry-Esseen de la section 1.6 utilisé
avec X k = ξ k de loi de Bernoulli de moyenne θ/(θ + k − 1). On obtient
même une vitesse de convergence uniforme pour les fonctions de répartition !
Le résultat peut également être obtenu en utilisant le théorème limite central
de Lindeberg-Lévy pour les sommes de variables aléatoires indépendantes pas
forcément de même loi, ou encore en utilisant le théorème limite central pour
les martingales de carré intégrable avec normalisation par processus croissant.
Une preuve alternative peut être obtenue en utilisant l’inégalité de Le
Cam renforcée de la section 1.6, avec p k = θ/(θ + k − 1). En effet, cela donne
d VT (μ n , ν n ) = o n→∞ (1), et par conséquent, pour toute fonction continue et
bornée f : R → R, on a, avec σ
2
n = Var(|π n |),
E
f
|π n | − λ n
σ n
− E
f
P n − λ n
σ n
2f ∞ d VT (μ n , ν n ) −→
n→∞
0.
où P n désigne une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de moyenne
λ n = p 1 + · · · + p n . D’autre part, par le théorème limite central, le théorème
14.9 qui donne
√
λ n /σ n → 1, et le lemme de Slutsky, on a
P n − λ n
σ n
=
P n − λ n
√
λ n
√
λ n
σ n
loi
−→
n→∞
N (0, 1).
La preuve précédente montre que la poissonisation est utile même si la
moyenne diverge : λ n = p 1 +· · ·+p n → ∞. D’autre part, on a p
2
1 +· · ·+p
2
n → 0
et donc l’inégalité de Le Cam d VT (μ n , , ν n ) = O(p
2
1 + · · · + p
2
n ) ne suffit pas.
14.3 Tables extrêmes
À l’instant n le restaurant compte A n,1 tables réduites à un seul client. La
combinatoire permet d’obtenir la loi de A n,1 . Contentons-nous ici des deux
premiers moments.
Théorème 14.14 (Clients solitaires). Pour tout temps n 1, le nombre A n,1
de tables réduites à un seul client vérifie
E(A n,1 ) =
nθ
n + θ − 1
et
Var(A n,1 ) =
n(n − 1)(n − 2 + 2θ)θ
(n + θ − 2)(n + θ − 1) 2 .
En particulier, si θ = 1 alors E(A n,1 ) = Var(A n,1 ) = 1 pour tout n 1,
tandis que pour tout θ,
lim
n→∞
E(A n,1 ) = θ
et
lim
n→∞
Var(A n,1 ) = θ.
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Démonstration. Tout d’abord, on note que E(|π n |) et Var(|π n |) peuvent être
remplacés par θ log(n) en utilisant le lemme de Slutsky et le théorème 14.9.
Le résultat découle du théorème de Berry-Esseen de la section 1.6 utilisé
avec X k = ξ k de loi de Bernoulli de moyenne θ/(θ + k − 1). On obtient
même une vitesse de convergence uniforme pour les fonctions de répartition !
Le résultat peut également être obtenu en utilisant le théorème limite central
de Lindeberg-Lévy pour les sommes de variables aléatoires indépendantes pas
forcément de même loi, ou encore en utilisant le théorème limite central pour
les martingales de carré intégrable avec normalisation par processus croissant.
Une preuve alternative peut être obtenue en utilisant l’inégalité de Le
Cam renforcée de la section 1.6, avec p k = θ/(θ + k − 1). En effet, cela donne
d VT (μ n , ν n ) = o n→∞ (1), et par conséquent, pour toute fonction continue et
bornée f : R → R, on a, avec σ
2
n = Var(|π n |),
E
f
|π n | − λ n
σ n
− E
f
P n − λ n
σ n
2f ∞ d VT (μ n , ν n ) −→
n→∞
0.
où P n désigne une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de moyenne
λ n = p 1 + · · · + p n . D’autre part, par le théorème limite central, le théorème
14.9 qui donne
√
λ n /σ n → 1, et le lemme de Slutsky, on a
P n − λ n
σ n
=
P n − λ n
√
λ n
√
λ n
σ n
loi
−→
n→∞
N (0, 1).
La preuve précédente montre que la poissonisation est utile même si la
moyenne diverge : λ n = p 1 +· · ·+p n → ∞. D’autre part, on a p
2
1 +· · ·+p
2
n → 0
et donc l’inégalité de Le Cam d VT (μ n , , ν n ) = O(p
2
1 + · · · + p
2
n ) ne suffit pas.
14.3 Tables extrêmes
À l’instant n le restaurant compte A n,1 tables réduites à un seul client. La
combinatoire permet d’obtenir la loi de A n,1 . Contentons-nous ici des deux
premiers moments.
Théorème 14.14 (Clients solitaires). Pour tout temps n 1, le nombre A n,1
de tables réduites à un seul client vérifie
E(A n,1 ) =
nθ
n + θ − 1
et
Var(A n,1 ) =
n(n − 1)(n − 2 + 2θ)θ
(n + θ − 2)(n + θ − 1) 2 .
En particulier, si θ = 1 alors E(A n,1 ) = Var(A n,1 ) = 1 pour tout n 1,
tandis que pour tout θ,
lim
n→∞
E(A n,1 ) = θ
et
lim
n→∞
Var(A n,1 ) = θ.