13.2 Longueur de l’arbre généalogique
177
= 4
n
k=2
1
k 2 +
1
(k − 1) 2 −
2
k(k − 1)
= 8
n−1
k=1
1
k 2 +
4
n 2 − 4 − 8
1 −
1
n
.
On a Var(W n )
4π
2
3 − 12 1.16 (notons que Var(T 2 ) = 1). Il est possible
d’obtenir une expression explicite de la densité de W n en remarquant que
P(W n t) = P(A n (t) = 1) et en calculant la matrice de transition du
processus ancestral (assez peu passionnant).
On appelle arbre généalogique d’un groupe de n individus l’ensemble de
tous leurs ancêtres toutes générations comprises, eux compris, jusqu’au premier ancêtre commun à tous les individus. On note L n , et l’on appelle longueur de l’arbre généalogique la variable aléatoire égale à la somme des temps
de vie de tous les individus de l’arbre. La longueur de l’arbre L n s’exprime en
fonction des temps d’apparition des ancêtres communs :
L n = 2T 2 + · · · + nT n .
En particulier, comme T 2 , . . . , T n sont indépendantes avec T k ∼ Exp(
k
2
),
E(L n ) ∼
n→∞
2 log(n) et Var(L n ) ∼
n→∞
2π
2
3
.
Théorème 13.4 (Longueur de l’arbre ancestral). La v.a. L n suit la loi du
maximum de n − 1 v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre 1/2. De plus,
L n
log(n)
p.s.
−→
n→∞
2 et
L n
2
− log(n)
loi
−→
n→∞
Gumbel
où la loi de Gumbel a pour fonction de répartition t ∈ R → e
−e
−t .
Démonstration. La variable aléatoire L n est la somme des variables aléatoires
indépendantes 2T 2 , . . . , nT n qui suivent les lois Exp(1/2), . . . , Exp((n − 1)/2).
Le premier résultat découle alors de la propriété suivante : si E 1 , . . . , E n sont
des variables aléatoires indépendantes de lois Exp(λ), Exp(2λ), . . . , Exp(nλ)
alors leur somme S n := E 1 +· · ·+E n à la même loi que M n := max(F 1 , . . . , F n )
où F 1 , . . . , F n sont des v.a. i.i.d. de loi Exp(λ). La densité de M n est
f n (x) := (P(M n x))
= ((1 − e
−λx )
n
1 R+ (x))
= nλ(1 − e
−λx )
n−1 e
−λx
1 R+ (x).
Montrons S n a pour densité f n . C’est vrai pour n = 1, et par récurrence, si
cela est vrai pour n, alors la densité de S n+1 est, en notant g λ celle de Exp(λ),
177
= 4
n
k=2
1
k 2 +
1
(k − 1) 2 −
2
k(k − 1)
= 8
n−1
k=1
1
k 2 +
4
n 2 − 4 − 8
1 −
1
n
.
On a Var(W n )
4π
2
3 − 12 1.16 (notons que Var(T 2 ) = 1). Il est possible
d’obtenir une expression explicite de la densité de W n en remarquant que
P(W n t) = P(A n (t) = 1) et en calculant la matrice de transition du
processus ancestral (assez peu passionnant).
On appelle arbre généalogique d’un groupe de n individus l’ensemble de
tous leurs ancêtres toutes générations comprises, eux compris, jusqu’au premier ancêtre commun à tous les individus. On note L n , et l’on appelle longueur de l’arbre généalogique la variable aléatoire égale à la somme des temps
de vie de tous les individus de l’arbre. La longueur de l’arbre L n s’exprime en
fonction des temps d’apparition des ancêtres communs :
L n = 2T 2 + · · · + nT n .
En particulier, comme T 2 , . . . , T n sont indépendantes avec T k ∼ Exp(
k
2
),
E(L n ) ∼
n→∞
2 log(n) et Var(L n ) ∼
n→∞
2π
2
3
.
Théorème 13.4 (Longueur de l’arbre ancestral). La v.a. L n suit la loi du
maximum de n − 1 v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre 1/2. De plus,
L n
log(n)
p.s.
−→
n→∞
2 et
L n
2
− log(n)
loi
−→
n→∞
Gumbel
où la loi de Gumbel a pour fonction de répartition t ∈ R → e
−e
−t .
Démonstration. La variable aléatoire L n est la somme des variables aléatoires
indépendantes 2T 2 , . . . , nT n qui suivent les lois Exp(1/2), . . . , Exp((n − 1)/2).
Le premier résultat découle alors de la propriété suivante : si E 1 , . . . , E n sont
des variables aléatoires indépendantes de lois Exp(λ), Exp(2λ), . . . , Exp(nλ)
alors leur somme S n := E 1 +· · ·+E n à la même loi que M n := max(F 1 , . . . , F n )
où F 1 , . . . , F n sont des v.a. i.i.d. de loi Exp(λ). La densité de M n est
f n (x) := (P(M n x))
= ((1 − e
−λx )
n
1 R+ (x))
= nλ(1 − e
−λx )
n−1 e
−λx
1 R+ (x).
Montrons S n a pour densité f n . C’est vrai pour n = 1, et par récurrence, si
cela est vrai pour n, alors la densité de S n+1 est, en notant g λ celle de Exp(λ),