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13 Généalogies et coalescence
Démonstration. On esquisse seulement les grandes lignes. Considérons dans
un premier temps le comportement de la matrice de transition de G N lorsque
N est grand. Puisque S k,k−1 =
k
2
, pour tout 2 k n,
g
(N )
k,k−1 = S k,k−1
N (N − 1) · · · (N − k + 1)
N k
=
k
2
1
N
+ O(N
−2 )
tandis que pour j < k − 1, on a
g
(N )
k,j = S k,j
N (N − 1) · · · (N − j + 1)
N k
= O(N
−2 ).
Enfin, on a
g
(N )
k,k = N
−k N (N − 1) · · · (N − k + 1) = 1 −
k
2
1
N
+ O(N
−2 ).
Ainsi G N = I + N
−1 Q + O(N
−2 ). La suite de la démonstration, omise ici,
consiste à identifier la limite de (G N )
Nt .
13.2 Longueur de l’arbre généalogique
Le processus à temps continu (A n (t)) t0 d’espace d’états {1, . . . , n} est un
processus de mort pur, c’est-à-dire que ses trajectoires continues par morceaux
sont décroissantes. Il est issu de A n (0) = n et décroît uniquement avec des
sauts d’amplitude −1. Pour tout k 2, sachant que le processus est dans l’état
k, le temps d’attente T k avant de passer dans l’état k − 1 (seule transition
possible) suit une loi Exp(
k
2
). De plus, les variables aléatoires (T k ) 2kn sont
indépendantes. Le temps d’apparition de l’ACPR W n s’écrit donc
W n = T n + · · · + T 2 ,
où les (T k ) 2kn sont les temps de séjours dans les états 2, . . . , n. En particulier, on a donc
E(W n ) = 2
n
𨐾
k=2
1
k(k − 1)
= 2
n
k=2
1
k − 1
−
1
k
= 2
1 −
1
n
→ 2
et les T 2 , . . . , T n étant indépendantes, on a de plus
Var(W n ) =
n
k=2
Var(T k )
=
n
k=2
4
k 2 (k − 1) 2