13.1 Modèle généalogique à temps continu
175
Démonstration. On utilise les fonctions caractéristiques. Si V ∼ Exp(μ), alors
ϕ Vn/n (t) =
μ n e
it/n
1 − (1 − μ n )e it/n =
nμ n
nμ n − n(1 − e it/n )
−→
n→∞
μ
μ − it
= ϕ V (t),
Alternativement, pour tout x 0,
P(n
−1 V n x) = P(V n nx) = e
−μnnx
→ e
−μx .
Pour une population comportant N individus et dans une échelle de temps
où l’unité de temps est égale à N générations, le temps T 2 d’apparition de
l’ACPR pour deux individus donnés est approximativement de loi exponentielle de paramètre 1. En particulier E(T 2 ) = 1. On a donc montré que
(A
N
2 (Nt)) t0
loi
−→
N →∞
(A 2 (t)) t0 .
Considérons l’arbre généalogique de trois individus. Quand N tend vers
l’infini, T
2 /N converge en loi vers Exp(1). De plus, on montre de même que
(T
2 /N, T
3 /N ) converge vers (T 2 , T 3 ) où T 2 et T 3 sont indépendantes de lois
exponentielles respectives Exp(1) et Exp(3) :
ϕ (T
2 /N,T
3 /N ) (s, t) = E(exp(isT
2 /N + itT
3 /N ))
= E(E(exp(isT
2 /N )|T
3 ) exp(itT
3 /N ))
=
1
3N − 2
E
e
itT
3 /N
+
3N − 3
3N − 2
E
e
itV /N
E
e
itT
3 /N
et le lemme 13.2 permet de conclure que (A
N
3 (Nt)) t0 converge en loi vers
le processus (A 3 (t)) t0 quand N tend vers l’infini. En d’autres termes, lorsque
N tend vers l’infini et que le temps est mesuré en unités de N générations, le
mécanisme d’apparition de l’ACPR d’un groupe composé de trois individus
distincts pour le processus limite est le suivant :
— après un temps exponentiel T 3 ∼ Exp(3), un ancêtre commun à 2
individus apparaît,
— l’ancêtre commun apparaît alors après un temps T 2 ∼ Exp(1),
— les variables aléatoires T 2 et T 3 sont indépendantes.
En particulier, à la limite, la probabilité que le premier ancêtre commun soit
commun aux trois individus est nulle. On généralise le résultat comme suit.
Théorème 13.3 (Du discret au continu). Pour tout n 2, la convergence
de processus suivante a lieu, au sens des lois marginales,
(A
N
n (Nt)) t0
loi
−→
N →∞
(A n (t)) t0 .
175
Démonstration. On utilise les fonctions caractéristiques. Si V ∼ Exp(μ), alors
ϕ Vn/n (t) =
μ n e
it/n
1 − (1 − μ n )e it/n =
nμ n
nμ n − n(1 − e it/n )
−→
n→∞
μ
μ − it
= ϕ V (t),
Alternativement, pour tout x 0,
P(n
−1 V n x) = P(V n nx) = e
−μnnx
→ e
−μx .
Pour une population comportant N individus et dans une échelle de temps
où l’unité de temps est égale à N générations, le temps T 2 d’apparition de
l’ACPR pour deux individus donnés est approximativement de loi exponentielle de paramètre 1. En particulier E(T 2 ) = 1. On a donc montré que
(A
N
2 (Nt)) t0
loi
−→
N →∞
(A 2 (t)) t0 .
Considérons l’arbre généalogique de trois individus. Quand N tend vers
l’infini, T
2 /N converge en loi vers Exp(1). De plus, on montre de même que
(T
2 /N, T
3 /N ) converge vers (T 2 , T 3 ) où T 2 et T 3 sont indépendantes de lois
exponentielles respectives Exp(1) et Exp(3) :
ϕ (T
2 /N,T
3 /N ) (s, t) = E(exp(isT
2 /N + itT
3 /N ))
= E(E(exp(isT
2 /N )|T
3 ) exp(itT
3 /N ))
=
1
3N − 2
E
e
itT
3 /N
+
3N − 3
3N − 2
E
e
itV /N
E
e
itT
3 /N
et le lemme 13.2 permet de conclure que (A
N
3 (Nt)) t0 converge en loi vers
le processus (A 3 (t)) t0 quand N tend vers l’infini. En d’autres termes, lorsque
N tend vers l’infini et que le temps est mesuré en unités de N générations, le
mécanisme d’apparition de l’ACPR d’un groupe composé de trois individus
distincts pour le processus limite est le suivant :
— après un temps exponentiel T 3 ∼ Exp(3), un ancêtre commun à 2
individus apparaît,
— l’ancêtre commun apparaît alors après un temps T 2 ∼ Exp(1),
— les variables aléatoires T 2 et T 3 sont indépendantes.
En particulier, à la limite, la probabilité que le premier ancêtre commun soit
commun aux trois individus est nulle. On généralise le résultat comme suit.
Théorème 13.3 (Du discret au continu). Pour tout n 2, la convergence
de processus suivante a lieu, au sens des lois marginales,
(A
N
n (Nt)) t0
loi
−→
N →∞
(A n (t)) t0 .