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13 Généalogies et coalescence
où S k,j est le nombre de Stirling de seconde espèce
1 . En effet, il y a exactement
N (N − 1) · · · (N − j + 1) façons de choisir j parents distincts parmi N , et S k,j
façons d’associer à ces j parents k enfants, et enfin, N
k est le nombre de façons
d’assigner k enfants à leurs parents. On définit à présent le processus ancestral
(A
N
n (r)) r∈N en notant A
N
n (r) le nombre d’ancêtres distincts à la génération
−r pour un groupe de taille n au temps 0 (le temps remonte ici). La suite
(A
N
n (r)) r∈N est une chaîne de Markov sur {1, . . . , n} de matrice de transition
G N =
g
(N )
j,k 1 {jk}
1j,kn
.
Pour cette chaîne, l’état 1 est absorbant tandis que les états 2, . . . , n sont
transitoires puisqu’ils mènent tous à 1. Il est difficile d’étudier les propriétés
fines de cette chaîne, comme par exemple des propriétés sur le temps d’atteinte
de l’état 1. Nous allons donc remplacer ce modèle à temps discret par un
modèle plus simple à temps continu.
13.1 Modèle généalogique à temps continu
Considérons la chaîne de Markov à temps continu (A(t)) t0 sur N
∗ dont
le générateur infinitésimal est donné pour tous j, k ∈ N
∗ par
L(j, k) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
j
2
si j 2 et k = j − 1,
−
j
2
si j 2 et k = j,
0
sinon.
C’est un processus de mort pur sur N
∗ (sauts de n à n − 1 seulement) pour
lequel 1 est absorbant. Le temps de séjour en n suit la loi exponentielle de
paramètre
n
2
. Ceci s’interprète de la manière suivante : chaque couple d’individus se cherche un père indépendamment des autres couples et y arrive
au bout d’un temps exponentiel de paramètre 1. Pour n individus, on a
n
2
couples distincts. Or le minimum de
n
2
variables aléatoires indépendantes de
même loi exponentielle Exp(1) suit la loi Exp(
n
2
) (voir aussi lemme 11.2).
On note (A n (t)) t0 le processus issu de n, qui est à valeurs dans {1, . . . , n}.
Montrons à présent que le processus à temps discret renormalisé converge
vers le processus à temps continu. On s’intéresse au cas limite où N est grand
et où l’unité de temps se compte en N générations. La date d’apparition de
l’ACPR de deux individus donnés est donc T
2 /N où T
2 suit la loi géométrique
sur N
∗ de paramètre p 2 = 1/N .
Lemme 13.2 (Loi exponentielle comme limite de lois géométriques renormalisées). Si (V n ) n1 est une suite de variables aléatoires de loi géométrique de paramètres respectifs (μ n ) n1 telle que lim n→∞ nμ n = μ > 0 alors (n
−1 V n ) n1
converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre μ.
1. Nombre de façons de découper un ensemble à k éléments en j ensembles non
vides. Apparaît aussi dans le chapitre 1 pour étudier le collectionneur de coupons !
13 Généalogies et coalescence
où S k,j est le nombre de Stirling de seconde espèce
1 . En effet, il y a exactement
N (N − 1) · · · (N − j + 1) façons de choisir j parents distincts parmi N , et S k,j
façons d’associer à ces j parents k enfants, et enfin, N
k est le nombre de façons
d’assigner k enfants à leurs parents. On définit à présent le processus ancestral
(A
N
n (r)) r∈N en notant A
N
n (r) le nombre d’ancêtres distincts à la génération
−r pour un groupe de taille n au temps 0 (le temps remonte ici). La suite
(A
N
n (r)) r∈N est une chaîne de Markov sur {1, . . . , n} de matrice de transition
G N =
g
(N )
j,k 1 {jk}
1j,kn
.
Pour cette chaîne, l’état 1 est absorbant tandis que les états 2, . . . , n sont
transitoires puisqu’ils mènent tous à 1. Il est difficile d’étudier les propriétés
fines de cette chaîne, comme par exemple des propriétés sur le temps d’atteinte
de l’état 1. Nous allons donc remplacer ce modèle à temps discret par un
modèle plus simple à temps continu.
13.1 Modèle généalogique à temps continu
Considérons la chaîne de Markov à temps continu (A(t)) t0 sur N
∗ dont
le générateur infinitésimal est donné pour tous j, k ∈ N
∗ par
L(j, k) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
j
2
si j 2 et k = j − 1,
−
j
2
si j 2 et k = j,
0
sinon.
C’est un processus de mort pur sur N
∗ (sauts de n à n − 1 seulement) pour
lequel 1 est absorbant. Le temps de séjour en n suit la loi exponentielle de
paramètre
n
2
. Ceci s’interprète de la manière suivante : chaque couple d’individus se cherche un père indépendamment des autres couples et y arrive
au bout d’un temps exponentiel de paramètre 1. Pour n individus, on a
n
2
couples distincts. Or le minimum de
n
2
variables aléatoires indépendantes de
même loi exponentielle Exp(1) suit la loi Exp(
n
2
) (voir aussi lemme 11.2).
On note (A n (t)) t0 le processus issu de n, qui est à valeurs dans {1, . . . , n}.
Montrons à présent que le processus à temps discret renormalisé converge
vers le processus à temps continu. On s’intéresse au cas limite où N est grand
et où l’unité de temps se compte en N générations. La date d’apparition de
l’ACPR de deux individus donnés est donc T
2 /N où T
2 suit la loi géométrique
sur N
∗ de paramètre p 2 = 1/N .
Lemme 13.2 (Loi exponentielle comme limite de lois géométriques renormalisées). Si (V n ) n1 est une suite de variables aléatoires de loi géométrique de paramètres respectifs (μ n ) n1 telle que lim n→∞ nμ n = μ > 0 alors (n
−1 V n ) n1
converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre μ.
1. Nombre de façons de découper un ensemble à k éléments en j ensembles non
vides. Apparaît aussi dans le chapitre 1 pour étudier le collectionneur de coupons !