13 Généalogies et coalescence
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t = 0
t = 1
t = 2
t = 3
t = 4
t = 5
t = 6
Fig. 13.1. Dans le modèle de Wright-Fisher, tout se passe comme si pour chaque
génération, chaque individu, indépendemment de tous les autres, choisissait uniformément un père dans la génération précédente et en héritait. Le graphique ci-dessus
illustre l’évolution de ces relations de filiation sur quelques générations pour une population de taille N = 5. Ce point de vue généalogique est au cœur de ce chapitre.
(ici T
2 := T 3 − T
3 ). Remarquons que si l’ACPR de deux individus est l’ACPR
des trois individus alors T
2 = 0. Déterminons la loi de T
2 . La probabilité que
trois individus distincts aient le même père est 1/N
2 . La probabilité que T
2
soit nul sachant que T
3 = k est donc égale à
P(T
2 = 0 | T
3 = k) =
P(T
2 = 0 , T
3 = k)
P(T
3 = k)
=
(1 − p 3 )
k−1 (1/N
2 )
p 3 (1 − p 3 ) k−1
=
1
3N − 2
.
Comme les choix des parents sont indépendants d’une génération à l’autre,
on déduit de la première partie que la loi de T
2 sachant que T
3 = k et T
2 > 0
est la loi géométrique de paramètre p 2 . Cela implique que sachant T
3 = k,
la variable T
2 est égale en loi à UV où U et V sont indépendantes de lois
respectives Ber(1 − 1/(3N − 2)) et Geo N ∗ (p 2 ).
Plus généralement, le nombre de parents distincts d’un groupe de k individus peut être vu comme le nombre d’urnes occupées après que l’on a lancé
k balles, indépendamment et à chaque fois uniformément, dans N urnes. Pour
tout j ∈ {1, . . . , k}, la probabilité pour que ce nombre soit j est
g
(N )
k,j = P(k individus ont j parents distincts) =
N (N − 1) · · · (N − j + 1)S k,j
N k
,